Transformación de la familia

En matemáticas, una transformación de cabeza de familia en un espacio tridimensional es el reflejo de vectores con respecto a un plano que pasa a través del origen. En general, en un espacio euclidiano es una transformación lineal que describe una reflexión con respecto a un hiperplano que contiene el origen. La transformación de cabeza de familia fue introducida en 1958 por el matemático estadounidense Alston Scott Householder (1905 - 1993). Esto se puede utilizar para obtener una factorización QR de una matriz.

El reflejo de un punto x {\displaystyle \mathbf {x} } con respecto a un hiperplano, definido como ortogonal a un Verser u {\displaystyle \mathbf {u} } , viene dado por: donde ⟨ , ⟩ {\displaystyle \ langle, \ rangle } denota el producto escalar euclidiano, análogo al producto entre matrices, que define la distancia de x {\displaystyle \mathbf {x} } desde el hiperplano, mientras u T {\displaystyle \mathbf {u} ^{t}} denota la transposición (la transposición conjugada en el caso complejo) del vector u {\displaystyle \mathbf {u} } (pensado como una matriz de una sola columna) Es una transformación lineal que está representada por la matriz del cabeza de familia: donde Me {\displaystyle I} es la matriz de identidad. La matriz de cabeza de familia tiene las siguientes propiedades: matrices de cabeza de familia son un caso especial de matrices elementales.

La matriz del cabeza de familia U {\displaystyle U} se puede usar para deshacer todos los componentes de un vector excepto el primero, de la siguiente manera. Son: y usted define: usted tiene, para un U = Me − λ v v T {\displaystyle u = i - \ lambda \mathbf {v} \ mathbf {V} ^{T}} con λ {\displaystyle \ lambda } apropiado, que: de hecho, definiendo 1 λ = α {\displaystyle {\frac {1} {\lambda }} = \ alpha } donde usted tiene:.

Si y 1 {\displaystyle \ mathbf {e} _{1}} es el vector ( 1 , 0 , … , 0 ) T {\displaystyle (1, 0, \ dots, 0)^{T}} , considere: dada la matriz de cabezas de familia Q {\displaystyle Q} , como se ha indicado anteriormente: y este resultado se puede utilizar para transformar gradualmente una matriz A {\displaystyle A} tipo m × y {\displaystyle m \ times n} en la forma triangular superior: primero multiplicar A {\displaystyle A} para la matriz del cabeza de familia Q 1 {\displaystyle Q_{1}} obtenido por la elección x {\displaystyle \mathbf {x} } para su primera columna Ambos x {\displaystyle \mathbf {x} } un vector de columna m - dimensional arbitrario de longitud | α | {\displaystyle / \ alpha / } (para la estabilidad numérica del método se supone que α {\displaystyle \ alpha } tiene el mismo signo que la primera coordenada de x {\displaystyle \mathbf {x} } ). Esto resulta en una matriz Q A {\displaystyle QA} que tiene ceros en la columna de la izquierda, excepto solo para la primera fila: este cambio se puede repetir para A ′ {\displaystyle A''} por medio de una matriz de Housholder Q 2 {\displaystyle Q_{2}} . Ya que quieres que sea real, para operar en Q 1 A {\displaystyle Q_{1}A} en lugar de A ′ {\displaystyle A''} es necesario ampliar esto en la parte superior izquierda, llenándolo con 1 entradas, o en general: después t {\displaystyle t} iteraciones de este proceso, con t = min ( m − 1 , y ) {\displaystyle T=\min (m-1, n)} , se trata de: que es una matriz triangular superior Tenga en cuenta que Q 2 {\displaystyle Q_{2}} ser menor que Q 1 {\displaystyle Q_{1}} . Así, con A = Q R {\displaystyle A = QR} es una descomposición QR de A {\displaystyle A} . Este método es numéricamente estable.

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