Transformación de Bogoljubov

En Física Teórica, la transformación de bogoljubov (también llamada transformación de Bogoljubov–Valatina) es un isomorfismo del álgebra de las relaciones canónicas de conmutación o anticomutación; esto induce la auto-equivalencia sobre las representaciones respectivas. Fue descubierto independientemente por Nikolaj Nikolaevič Bogoljubov y John George Valatin en 1958 con el objetivo de encontrar soluciones de la teoría BCS en un sistema homogéneo. La transformación se utiliza a menudo para diagonalizar operadores hamiltonianos, lo que conduce a soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger correspondiente. La transformación de Bogoljubov también es importante para comprender el efecto Unruh, la radiación Hawking, los efectos de acoplamiento en la física nuclear y otros temas. La transformación de Bogoljubov se utiliza a menudo para diagonalizar hamiltonianos, con una transformación correspondiente de la función de estado. Los valores propios calculados con el Hamiltoniano diagonalizado en la función de estado transformada son, por lo tanto, los mismos que antes.

Considere la relación canónica de conmutación para los operadores de creación y destrucción bosónica en la base armónica. Defina un nuevo par de operadores donde u y v son números complejos y el segundo es la suma del primero. La transformación de Bogoljubov es la transformación canónica que envía a los operadores a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} y a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} en b ^ {\displaystyle {\hat {b}}} y b ^ † {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }} . Para encontrar las condiciones en las constantes u y v de tal manera que la transformación es canónica, calculamos el conmutador, es decir, por lo tanto, es obvio que | u | 2 − | v | 2 = 1 {\displaystyle \, / u / ^{2} - / v / ^{2} = 1} let ser la condición para la que la transformación es canónica. Dado que la forma de esta condición corresponde a la identidad de las funciones hiperbólicas, las constantes u y v se pueden parametrizar de la siguiente manera: esto se interpreta como un espacio de fase simpléctica de transformación lineal. Comparándolo con la descomposición de Bloch - Messiah, los dos ángulos θ 1 {\displaystyle \ theta _ {1}} y θ 2 {\displaystyle \ theta _ {2}} corresponden a las transformaciones ortogonales simplécticas (rotaciones) y al factor de compresión r {\displaystyle r} corresponde a la transformación diagonal. La aplicación predominante es del propio Bogoljubov en el contexto de la superfluidez (aplicándola al Hamiltoniano gross-Pitaevsky, expresado en el formalismo de la segunda cuantización), donde permite expresar la solución en términos de cuasipartículas libres (correspondientes a las excitaciones colectivas del sistema). Otras aplicaciones incluyen hamiltonianos y excitaciones en la teoría del antiferromagnetismo. Al hacer cálculos de teoría de campos en el espacio-tiempo curvado, es posible definir los cambios de vacío y una transformación de Bogoljubov entre estos diferentes vacíos. Este hecho se utiliza para derivar la radiación de Hawking. Las transformaciones de Bogoljubov también se utilizan a menudo en la óptica cuántica.

Para las relaciones anti - conmutación, la primera transformación de Bogoljubov solo puede satisfacer la primera de estas relaciones anti-conmutación cuando u v = 0. {\displaystyle uv = 0. } Por lo tanto, la única posibilidad no trivial es u = 0 , v = 1 , {\displaystyle U = 0, v=1, } correspondiente al intercambio partícula-antipartícula (o intercambio partícula - gap en sistemas de muchos cuerpos). El punto donde la necesidad de realizar una transformación de Bogoljubov se hace obvia es que en la aproximación de campo medio, el hamiltoniano del sistema se puede escribir en ambos casos como una suma de términos bilineari en los operadores originales de creación y destrucción, que implica términos finitos del tipo ⟨ a Me + a j + ⟩ {\displaystyle \, \ langle a_{i}^{ + } a_{j}^{ + } \ rangle } , tienes que ir más allá del método habitual Hartree-Fock Por lo tanto, para una sola partícula, la transformación solo se puede implementar (1) Para un fermión Dirac donde se encuentran partículas y antipartículas, o (en comparación con el fermión de la Majorana) o (2) para multi - fermionici, en el que hay más de un tipo de fermión. La aplicación predominante sigue siendo por el propio Nikolaj Bogoljubov, esta vez para la teoría BCS de la superconductividad. En particular, en el formalismo del Hamiltoniano bogoljubov-de Gennes de campo medio con un término de acoplamiento superconductor como Δ a Me + a j + + h. c. {\displaystyle \Delta a_{i}^{ + } a_{j}^{ + } + {\textrm {h. c. }}} , operadores procesados según Bogoljubov b , b † {\displaystyle b, B^{\dagger }} destruyen y crean cuasipartículas (cada una con energía, momento y espín bien definidos en una superposición cuántica de estados de electrones y Gap), y tienen coeficientes u {\displaystyle u} y v {\displaystyle v} data from the eigenvectors of the bogoljubov - de Gennes Matrix. También en Física nuclear, este método es aplicable ya que podría describir la "energía de acoplamiento" de nucleones en un elemento pesado.

El estado fundamental del hamiltoniano correspondiente es destruido por todos los operadores de destrucción: todos los estados excitados se obtienen como combinaciones lineales del estado fundamental excitado por algunos de los operadores de creación: puede redefinir los operadores de creación y destrucción con una transformación lineal: donde los coeficientes u Me j , v Me j {\displaystyle \, u_{ij}, v_{ij}} deben estar sujetos a determinadas condiciones para garantizar que los operadores de destrucción y los operadores de creación a Me ′ † {\displaystyle a_{i}^{\prime \dagger }} , definido por la ecuación conjugada de Hermitian, satisface las mismas relaciones de conmutación para bosones o relaciones de anticomutación para fermiones El espacio de Hilbert bajo consideración está equipado con estos operadores, y en adelante describe un oscilador armónico cuántico en dimensiones más altas (generalmente de dimensión infinita). La ecuación anterior define la transformación de Bogoljubov de los operadores. El estado fundamental destruido por todos a Me ′ {\displaystyle a '' _ {i}} es diferente del estado fundamental original | 0 ⟩ {\displaystyle / 0 \ rangle } . También pueden definirse como Estados coherentes apretados. La función de onda BCS es un ejemplo de un estado coherente exprimido de fermiones.

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