Teorema espectral

En Álgebra Lineal y análisis funcional, El teorema espectral se refiere a una serie de resultados relacionados con operadores lineales o matrices. En términos generales, el teorema espectral proporciona condiciones bajo las cuales un operador o matriz puede ser diagonalizado, es decir, representado por una matriz diagonal en una base. En dimensión finita, el teorema espectral afirma que todo endomorfismo simétrico de un espacio vectorial real dotado de un producto escalar tiene una base ortonormal formada por vectores propios. Equivalentemente, cada matriz simétrica real es similar a una matriz diagonal a través de una matriz ortogonal. En infinite dimension hay varias formulaciones. El que usa operadores de multiplicación establece que cada operador de multiplicación es un operador auto-agregado (densamente definido), y cada operador auto-agregado es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación. El teorema espectral también proporciona una descomposición canónica del espacio vectorial, llamada descomposición espectral o descomposición de autovalores.

El teorema espectral es ante todo un teorema importante relativo a los espacios vectoriales (reales o complejos) de dimensión finita. El teorema espectral se puede establecer para espacios vectoriales reales o complejos con un producto escalar. La declaración es esencialmente la misma en ambos casos. El teorema en el caso real también puede ser interpretado como el caso especial de la versión compleja. Como muchos otros resultados en álgebra lineal, el teorema puede ser enunciado en dos formas diferentes: usando el lenguaje de aplicaciones lineales o matrices. En el caso complejo, la declaración para espacios vectoriales complejos equipados con un producto Hermitiano es similar al real, pero bajo supuestos más débiles: en lugar de auto-agregado, es suficiente requerir que el operador sea normal, es decir, que cambie con su propio agregado. Ambos T {\displaystyle T} un endomorfismo en un espacio vectorial real V {\displaystyle V} de dimensión n, Equipado con un producto escalar definido positivo. Entonces T {\displaystyle T} es auto-añadido si y solo si hay una base ortonormal de V {\displaystyle V} hecho de autovectores para T {\displaystyle T} . Endomorfismo T {\displaystyle T} por lo tanto, es diagonalizable. Una versión equivalente del teorema, enunciada con matrices, establece que cada matriz simétrica real es similar a una matriz diagonal a través de una matriz ortogonal. Como consecuencia del teorema, para cada matriz simétrica S {\displaystyle S} hay una matriz ortogonal M {\displaystyle M} (es decir, tal que M T M = Me {\displaystyle M^{T} M = I} ) y una matriz diagonal D {\displaystyle D} así que: en particular, los valores propios de una matriz simétrica son todos reales. Ambos T {\displaystyle T} un operador lineal en un espacio vectorial complejo V {\displaystyle V} de dimensión n, dotada de un producto Hermitiano, es decir, de una forma Hermitiana definida positiva. Entonces T {\displaystyle T} es un operador normal si y solo si hay una base ortonormal de V {\displaystyle V} hecho de autovectores para T {\displaystyle T} . En lenguaje matricial, el teorema establece que cada matriz normal es similar a una matriz diagonal a través de una matriz unitaria. En otras palabras, para cada matriz normal H {\displaystyle H} hay una matriz de unidades U {\displaystyle U} y una diagonal D {\displaystyle D} por lo tanto, un operador es normal si y solo si es unitariamente diagonalizable. Como corolario se deduce que el operador T {\displaystyle T} es auto-añadido si y solo si la base ortonormal cuenta solo valores propios reales, mientras que si T {\displaystyle T} el módulo autovalores es 1. En particular, los valores propios de una matriz Hermitiana son todos reales, mientras que los de una matriz unitaria son de módulo 1. Para probar el teorema espectral es suficiente considerar el caso complejo, y para probar la existencia de una base de vectores propios utilizamos el principio de inducción en el tamaño de V {\displaystyle V} . Si el tamaño de V {\displaystyle V} es igual a 1 no hay nada que probar. Supongamos que la declaración se aplica a espacios vectoriales de dimensión n - 1: queremos demostrar que esto implica la validez del teorema para espacios de dimensión n. Ya C {\displaystyle \mathbb {C} } es un campo algebraicamente cerrado, el polinomio característico de T {\displaystyle T} tiene al menos una raíz: así T {\displaystyle T} tiene al menos un valor propio λ {\displaystyle \ lambda } y un vector propio v {\displaystyle v} relativo a ese valor propio. Considere el espacio: formado por los vectores de V {\displaystyle V} ortogonal a v {\displaystyle v} . W {\displaystyle W} tiene tamaño y − 1 {\displaystyle n - 1} , ya que los dos subespacios están en suma directa. Restricción T | W {\displaystyle T_ {/W}} de T {\displaystyle T} a W {\displaystyle W} sigue siendo un endomorfismo normal de W {\displaystyle W} : Ya W {\displaystyle W} tiene tamaño y − 1 {\displaystyle n - 1} la hipótesis inductiva se puede aplicar para T | W {\displaystyle T_ {/W}} , y supongamos que hay una base ortonormal de sus vectores propios Endomorfismo T {\displaystyle T} enviar W {\displaystyle W} en sí mismo, es decir, T ( W ) ⊆ W {\displaystyle T (W) \ subseteq W} . De hecho, la imagen de T {\displaystyle T} es ortogonal a v {\displaystyle v} : ser v {\displaystyle v} y w {\displaystyle w} ortogonal por hipótesis. Ya v {\displaystyle v} puede asumirse como una norma unitaria, v {\displaystyle v} y la base ortonormal de W {\displaystyle W} forma una base ortonormal de V {\displaystyle V} , según sea necesario. En caso de T {\displaystyle T} ambos auto-añadidos demuestran que todos sus valores propios son reales. De hecho, ambos x {\displaystyle x} un vector propio para T {\displaystyle T} con valor propio λ {\displaystyle \ lambda } . Ser T = T ∗ {\displaystyle T = T^{*}} tiene: se deduce que λ {\displaystyle \ lambda } es igual a su conjugado, y por lo tanto es real. Esto permite considerar el teorema espectral enunciado en el caso real como corolario del complejo. Por el contrario, supongamos que existe una base ortonormal de V {\displaystyle V} compuesto por vectores propios de T {\displaystyle T} . Entonces la matriz que representa al operador con respecto a esa base es diagonal, de la cual sigue que T {\displaystyle T} es normal.

El caso de dimensión infinita es una generalización del caso anterior, y hay diferentes formulaciones del teorema dependiendo de la clase de operadores que desea considerar. La principal distinción se refiere a los operadores limitados y no limitados. Para un operador compacto, la tesis del teorema espectral es esencialmente la misma que el caso de dimensión finita, tanto en el caso real como en el caso complejo: hay una base ortonormal del espacio formada por vectores propios del operador, y cada valor propio es real. En la demostración, el punto crucial es mostrar la existencia de al menos un vector propio. No es posible confiar en los determinantes para mostrar la existencia de autovalores, y por lo tanto se utiliza un argumento de maximización variacional. Si se considera un operador acotado más general, el comportamiento puede ser muy diferente del que se encuentra en la dimensión finita. El operador puede no tener vectores propios o valores propios, incluso en el caso complejo. Por ejemplo, el operador S {\displaystyle S} en el espacio L p L 2 {\displaystyle L^{2} } definido como: es continuo y no tiene vectores propios. Dado por lo tanto un espacio de medición ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)} aditivo contable y de función mensurable f {\displaystyle F} en valores reales en X {\displaystyle X} , un operador de multiplicación es un operador T {\displaystyle T} de la forma: cuyo dominio es el espacio de funciones ψ {\displaystyle \psi } para los cuales el miembro de la derecha del informe anterior está en L 2 {\displaystyle L^{2}} Uno puede extender el discurso aún más teniendo en cuenta que el operador multiplicando cada función por una función medible fija f {\displaystyle F} es limitado y auto-añadido, pero tiene vectores propios solo para opciones muy particulares de f {\displaystyle F} . El teorema establece entonces que cada operador auto-añadido es equivalente unitario a un operador de multiplicación. En el caso general, que también incluye operadores sin restricciones, para cada operador auto-agregado T {\displaystyle T} agente en el espacio de Hilbert H {\displaystyle H} ¿hay un operador unitario que construye un mapa isométricamente isomórfico de H {\displaystyle H} en el espacio L 2 ( M , μ ) {\displaystyle L^{2} (M, \ mu)} , donde T {\displaystyle T} se representa como un operador de multiplicación En particular, un operador de unidad U {\displaystyle U} es unitariamente equivalente a la multiplicación por una función f ∈ L 2 ( μ ) {\displaystyle f \ in L^{2} (\mu)} medible con respecto a la Sigma-álgebra de un espacio de medición finito ( X , μ ) {\displaystyle (X, \ mu)} con Medida de Borel μ {\displaystyle \ mu } . El teorema espectral establece que un operador acotado y auto-añadido A {\displaystyle A} definido en un espacio de Hilbert H {\displaystyle H} es un operador de multiplicación. Equivalentemente, hay una familia de medidas { μ y } {\displaystyle \ {\mu _ {n}\}} en σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} y un operador de unidad: tal que: con: tal escritura de A {\displaystyle A} se llama la representación espectral del operador. Como corolario, se deduce que hay una medida μ {\displaystyle \ mu } en un espacio de medición M {\displaystyle M} y hay un operador de unidad: tal que: para alguna función medible limitada y en valores reales F {\displaystyle F} en M {\displaystyle M} . Ambos A {\displaystyle A} un operador ilimitado, auto añadido en un espacio de Hilbert separable H {\displaystyle H} con dominio D ( A ) {\displaystyle D (A)} . Luego hay un espacio de medición ( M , μ ) {\displaystyle (M, \ mu)} , donde μ {\displaystyle \ mu } es una medida finita, un operador de unidad: y hay una función f : M → R {\displaystyle f:M\to \ mathbb {R} } medible casi en todas partes de tal manera que: muchos operadores lineales importantes que se encuentran en el análisis, tales como operadores diferenciales, no están limitados. En particular, cada operador diferencial con coeficientes constantes es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación, y el operador de unidad que implementa esta equivalencia es la Transformada de Fourier.

Teoremas de álgebra lineal

Teoría espectral

Descomposición de la matriz

Regla de Cramer

La regla de Cramer o método de Cramer es un teorema del álgebra lineal, llamado así por el matemático Gabriel Cramer, útil para resolver un sistema de ecuacione...
Esta página se basa en el artículo de Wikipedia: Fuente, Autores, Licencia Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual.
This page is based on the Wikipedia article: Source, Authors, Creative Commons Attribution-ShareAlike License.
contactos
Política de privacidad , Descargos de responsabilidad