Teorema del matrimonio

El teorema del matrimonio es un resultado fundamental de la combinatoria. Tal teorema fue demostrado por el matemático Inglés Philip Hall en 1935 y también se conoce como el teorema de los distintos representantes o como Teorema de Hall.

Dicho D ′ {\displaystyle {\textstyle {\scriptstyle of}}} cualquier subconjunto de D {\displaystyle {\scriptstyle D}} y dijo U ′ {\displaystyle {\scriptstyle U''}} el subconjunto de U {\displaystyle {\scriptstyle U}} formada por miembros de las listas de D ′ {\displaystyle {\scriptstyle D''}} , la siguiente condición es necesaria para que cada mujer se case con un hombre de sus deseos |/ D ′ | ≤ | U ′ | {\displaystyle / D ''/ \ leq / U''/} el teorema del matrimonio establece que tal condición también es suficiente La siguiente ejemplificación justifica el nombre del teorema. Supongamos que tenemos dos conjuntos uno D {\displaystyle {\scriptstyle D}} de mujeres y una U {\displaystyle {\scriptstyle U}} y supongamos que no hay poligamia; supongamos, además, que cada mujer tiene su propia lista de hombres con los que le gustaría casarse. Para introducir la formulación de conjunto del teorema es necesario definir lo que se entiende por sistema de Representantes distintos. Datos n conjuntos finitos S 1 , . . . . . . . , S y {\displaystyle s_{1},. , S_ {n}} un sistema de Representantes distintos (SRD) para los conjuntos considerados es una secuencia de elementos distintos s 1 , . . . . . , s y {\displaystyle s_{1},. , s_ {n}} con s Me ∈ S Me {\displaystyle s_{i} \ in S_{i}} . El teorema entonces toma la siguiente forma: datos n conjuntos S 1 , . . . . . . . , S y {\displaystyle s_{1},. Un ejemplo es el siguiente: S 1 = { a , b , c } {\displaystyle s_{1} = \{a, b, c\}} , S 2 = { a , b } {\displaystyle s_{2} = \{A, b\}} , S 3 = { a , c , d , y , f } {\displaystyle s_{3}=\{A, c, d, e, f\}} , S 4 = { c , d , y } {\displaystyle s_{4} = \ {C, d, e\}} , S 5 = { c , d , y , f } {\displaystyle s_{5} = \ {c, D, E, f\}} , S_ {n}} puede determinar un sistema de Representantes distintos si y solo si se cumple la siguiente condición: | S Me 1 ∪ . . . . . ∪ S Me k | ≥ k {\displaystyle / s_{i1}\cup. \ cup s_{ik} / \ geq k} sea lo que sea k ∈ { 1 , . . . , y } {\displaystyle K \ in \ left\{1,. , n \ right\}} . Entonces { a , b , c , d , y } {\displaystyle \{A, b, c, d, e\}} es un SRD, pero no es el único, por ejemplo, también es { c , b , d , y , f } {\displaystyle \ {c, b, d, e, f\}} .

Dado un grafo bipartito con subconjuntos V 1 {\displaystyle V_{1}} y V 2 {\displaystyle V_{2}} , se dice acoplamiento completo de V 1 {\displaystyle V_{1}} en V 2 {\displaystyle V_{2}} un conjunto de arcos sin extremos en común, que tienen la característica de conectar cada elemento de V 1 {\displaystyle V_{1}} con un elemento de V 2 {\displaystyle V_{2}} El teorema de Hall se puede formular de la siguiente manera: en un grafo bipartito Gram = ( V 1 ∪ V 2 ; Y ) {\displaystyle G=\left (v_{1} \ cup V_{2}; E \ right)} ¿hay un acoplamiento completo de V 1 {\displaystyle V_{1}} en V 2 {\displaystyle V_{2}} si y solo si ∀ A ⊆ V 1 {\displaystyle \forall a \ subseteq V_{1}} resultar | A | ≤ | R ( A ) | {\displaystyle |A|\leq |R(a)|} donde R ( A ) ⊆ V 2 {\displaystyle R (a) \ subseteq V_{2}} consiste en los vértices adyacentes a los elementos de A {\displaystyle A} El teorema a menudo se formula en términos de grafo es bipartito, es decir, un grafo no se orienta de tal manera que el conjunto de sus vértices se puede particionar en dos subconjuntos de tal manera que cada vértice de una de estas dos partes está conectado solo a los vértices de la otra.

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