Teorema de Zsigmondy

En teoría de números, el teorema de Zsigmondy, que toma su nombre de Karl Zsigmondy, dice que si a > b & gt; 0 son los nteri cover me, entonces para cada entero n ≥ 1, Existe un número primo p (llamado el divisor primitivo primero), que divide un n − b n pero no divide un k − b k para todos los enteros positivos k < n, con las siguientes excepciones: este teorema generaliza a Bang que establece que si n > 1 y n no es igual a 6, entonces 2 n-1 tiene un divisor primo que no divide 2 k − 1 por cada k < n Del mismo modo, un n + b n tiene al menos un divisor primitivo con la excepción 2 3 + 1 3 = 9. El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en teoría de grupos, para mostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son los mismos.

El teorema fue descubierto por Zsigmondy mientras trabajaba en Viena desde 1895 hasta 1925

Ambos ( a y ) y ≥ 1 {\displaystyle (A_{n}) _ {n \ geq 1}} una sucesión de enteros distintos de 0. El conjunto de Zsigmondy asociado con la sucesión es el conjunto Z ( a y ) = { y ≥ 1 : p ∉ a y } . {\displaystyle {\mathcal {Z}} (a_{n}) = \{n\geq 1:p\not \in a_{n}\}. } Es decir, todos a y {\displaystyle a_ {n}} que no contienen p {\displaystyle p} (Divisores primos primitivos) para y ≥ 1 {\displaystyle n \ geq 1} . Así el teorema de Zsigmondy implica que Z ( a y − b y ) ⊂ { 1 , 2 , 6 } {\displaystyle {\mathcal {Z}} (a^{n} - b^{n}) \ subconjunto \ {1, 2, 6\}} , y el teorema de Carmichael establece que el conjunto de Zsigmondy de la sucesión de Fibonacci es { 1 , 2 , 6 , 12 } {\displaystyle \{1, 2, 6, 12\}} , y la de la sucesión de Pell es { 1 } {\displaystyle \{1\}} Es decir, el conjunto de índices y {\displaystyle n} tal que cada división por un número primo de a y {\displaystyle a_ {n}} también divide a m {\displaystyle a_{m}} para m & lt; y {\displaystyle m & lt; n} . En 2001 Bilu, Hanrot y Voutier demostraron que, en general, si ( a y ) y ≥ 1 {\displaystyle (A_{n}) _ {n \ geq 1}} ¿es una sucesión Lucas o una sucesión Lehmer, entonces Z ( a y ) ⊆ { 1 ≤ y ≤ 30 } {\displaystyle {\mathcal {Z}} (a_{n}) \ subseteq \ {1 \ leq n \ leq 30\}} . Las sucesiones de Lucas y Lehmer son ejemplos de sucesiones de divisibilidad. También se sabe que si ( W y ) y ≥ 1 {\displaystyle (W_{n}) _ {n \ geq 1}} es una sucesión elíptica de divisibilidad, entonces el conjunto de Zsigmondy Z ( W y ) {\displaystyle {\mathcal {Z}} (W_{n})} se acabó. Sin embargo, el resultado es ineficaz, en el sentido de que la prueba da un límite superior explícito para el elemento más grande en Z ( W y ) {\displaystyle {\mathcal {Z}} (W_{n})} , aunque puede dar un límite superior efectivo para el número de elementos en Z ( W y ) {\displaystyle {\mathcal {Z}} (W_{n})} .

Un caso específico del teorema considerar r {\displaystyle r} - número de Mersenne M r = 2 r − 1 {\displaystyle M_{r} = 2^{r} - 1} , así que cada número M 2 {\displaystyle M_{2}} , M 3 {\displaystyle M_{3}} , M 4 {\displaystyle M_{4}} , . tiene un número primo en la factorización que no está presente en la factorización de un elemento anterior de la sucesión, excepto M 6 {\displaystyle M_{6}} . Por ejemplo M 1 {\displaystyle M_{1}} , M 2 {\displaystyle M_{2}} , M 3 {\displaystyle M_{3}} , . tener los factores 3, 7, 5, 31, (1), 127, 17, 73, 11, 23(89), . que no surgen antes M y {\displaystyle M_ {n}} . Estos factores a veces se llaman números Zsigmondy Z s ( y , 2 , 1 ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{s} (n, 2, 1)} .

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