Teorema de subbase de Alexander

El teorema de subbase de Alexander (O prebase) es un resultado importante de la topología, que proporciona una condición necesaria para la compacidad de cualquier espacio a partir del comportamiento de los recubrimientos prebase

Ambos ( X , τ ) {\displaystyle (X, \ tau)} un espacio topológico y ser B {\displaystyle {\mathcal {B}}} su base. Se sabe que X {\displaystyle X} es compacto si cada uno su revestimiento hecho con Abierto B {\displaystyle {\mathcal {B}}} admite un finito Encubierto. El teorema de Alexander extiende este resultado a pre-bases también. Recuerde que una prebase P {\displaystyle {\mathcal {P}}} es una colección de open X {\displaystyle X} tal que la familia de intersecciones finitas de elementos de P {\displaystyle {\mathcal {P}}} let ser una base de la topología en X {\displaystyle X} . Observamos que cada prebase forma una cubierta abierta del espacio .

Procedamos al absurdo: ambos X {\displaystyle X} No compacto y mostramos que hay un recubrimiento de X {\displaystyle X} hecho con elementos de P {\displaystyle {\mathcal {P}}} lo que no admite un finito Encubierto. Para mayor claridad dividimos la demostración en dos pasos demostramos que el todo Z {\displaystyle Z} de las subfamilias de τ {\displaystyle \ tau } recubrimiento X {\displaystyle X} pero que no admiten subcubiertas finitas, ordenadas con inclusión, posee un elemento de techo Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} . Por la hipótesis absurda Z {\displaystyle Z} definitivamente no está vacía. Mostramos que cada cadena admite mayor, por lo que la existencia del elemento máximo es una consecuencia del lema Zorn. Que sea entonces C {\displaystyle C} una cadena y vamos a ver que C = ⋃ A ∈ C A {\displaystyle {\mathcal {C}}= \ bigcup _ {{\mathcal {A}}\in C} {\mathcal {A}}} es una mayoría de C {\displaystyle C} : claramente, solo mostrar que C {\displaystyle {\mathcal {C}}} es un elemento de Z {\displaystyle Z} . Si no, podríamos encontrar un Encubierto terminado. { A 1 , . . . , A y } ⊂ C {\displaystyle \{A_{1},. , A_{n}\}\subconjunto {\mathcal {C}}} de X {\displaystyle X} ; también, podemos elegir A 1 , . . . , A y ∈ C {\displaystyle {\mathcal {a}}_{1},. , {\mathcal {a}}_{n}\in C} tal que A Me ∈ A Me {\displaystyle A_{I} \ in {\mathcal {a}}_{i}} para cada Me = 1 , . . . , y {\displaystyle i=1,. , y} . Ya C {\displaystyle C} es una parte totalmente ordenada de Z {\displaystyle Z} , podemos asumir que es A 1 = max 1 ≤ Me ≤ y A Me {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}= \ max _{1 \ leq I\leq n} {\mathcal {A}}_{i}} y tendríamos el absurdo de que { A 1 , . . . , A y } ⊂ A 1 {\displaystyle \{A_{1},. , A_{n}\} \ subconjunto {\mathcal {a}} _ {1}} . Demostramos que P ∩ Z {\displaystyle {\mathcal {P}} \ cap {\mathcal {Z}}} es una capa abierta de X {\displaystyle X} : al hacerlo nos encontramos con una cubierta hecha con elementos de la base previa que no admite subcubiertas finitas, siendo P ∩ Z ⊂ Z {\displaystyle {\mathcal {P}} \ cap {\mathcal {Z}}\subconjunto {\mathcal {Z}}} . Para demostrar que P ∩ Z {\displaystyle {\mathcal {P}} \ cap {\mathcal {Z}}} es una capa abierta de X {\displaystyle X} tienes que demostrar que para cada x ∈ X {\displaystyle x \ in X} hay un Abierto P ∈ P ∩ Z {\displaystyle P \ in {\mathcal {p}} \ cap {\mathcal {Z}}} tal que x ∈ P {\displaystyle x \ in P} . Comenzamos a observar que hay una A ∈ Z {\displaystyle A \ in {\mathcal {Z}}} tal que x ∈ A {\displaystyle x \ en A} . Por otro lado, P {\displaystyle {\mathcal {P}}} es una prebase de X {\displaystyle X} para que podamos encontrar P 1 , . . . , P y ∈ P {\displaystyle P_{1},. , P_{N} \ in {\mathcal {P}}} tal que x ∈ ⋂ Me = 1 y P Me ⊂ A {\displaystyle x \ in \ bigcap _{i=1}^{n} P_{I} \ subconjunto A} . En su caso P Me ∈ Z {\displaystyle P_{i} \ in {\mathcal {Z}}} hemos terminado. De lo contrario para cada Me = 1 , . . . , y {\displaystyle i=1,. , y} recubrimiento Z Me = Z ∪ { P Me } {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{i}={\mathcal {Z}}\cup \{P_{i}\}} contiene estrictamente Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} y no puede pertenecer a Z {\displaystyle Z} . Desciende, por cada Me = 1 , . . . , y {\displaystyle i=1,. , A_{I, s_{i}}\}} con A Me , j ∈ Z {\displaystyle A_{i, j} \ in {\mathcal {Z}}} : usted tiene entonces ⋂ Me = 1 y P Me ∪ ⋃ Me = 1 y ⋃ j = 1 s Me A Me , j = ⋂ Me = 1 y P Me ∪ ⋂ Me = 1 y ⋃ Me = 1 y ⋃ j = 1 s Me A Me , j = ⋂ Me = 1 y ( P Me ∪ ⋃ Me = 1 y ⋃ j = 1 s Me A Me , j ) ⊇ ⋂ Me = 1 y ( P Me ∪ ⋃ j = 1 s Me A Me , j ) = ⋂ Me = 1 y X = X {\displaystyle \ bigcap _ {i = 1}^{n} P_{i}\cup \bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i, j}=\bigcap _{i=1}^{n}P_{i}\cup \bigcap _{i=1}^{n}\bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i, j}=\bigcap _{i=1}^{n}{\bigg (}P_{i}\cup \bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i, j}{\bigg)}\supseteq \bigcap _{i=1}^{n}{\bigg (}P_{i}\cup \bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i, j}{\bigg)}=\bigcap _{i=1}^{n}X=X} es encontrado, por lo que un sottoricoprimento terminado Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} , que es absurdo , y} , hay un finito Encubierto { P Me , A Me , 1 , . . . , A Me , s Me } {\displaystyle \{P_{i}, a_{i, 1},.

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