Teorema de Rouché-hair

El teorema de Rouché-Capelli es un teorema del álgebra lineal que permite caracterizar el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales (posiblemente vacío) por medio del rango de la matriz completa y la matriz incompleta. Lleva el nombre del matemático francés Eugène Rouché, su creador, y el matemático italiano Alfredo Capelli, quien lo reescribió de una manera más simple. A este teorema, que tiene un interés principalmente didáctico, también se asocian los nombres de Fontené, Kronecker y Frobenius.

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales: en el que los coeficientes del sistema lineal (y por lo tanto las matrices) y los componentes de los vectores son elementos de un campo K {\displaystyle K} , como los números reales R {\displaystyle \ mathbb {R} } o complejo C {\displaystyle \ mathbb {C} } . El sistema está fielmente representado por la matriz: dicha matriz asociada al sistema. Se obtiene a partir de la yuxtaposición de la Matriz A {\displaystyle A} coeficientes y otra columna b {\displaystyle \mathbf {b} } , dicha columna de términos conocidos. Matriz A {\displaystyle A} y ( A | b ) {\displaystyle (A / \ mathbf {b})} they are said to be incomplete and complete respectively. El teorema de Rouché-Capelli establece que las soluciones existen para el sistema si y solo si el rango de la matriz completa es igual al rango de la matriz incompleta: si existen soluciones, estas forman un subespacio afín de K y {\displaystyle K^{n}} Tamaño y − rk ⁡ ( A ) {\displaystyle n - \ operatorname {rk} (A)} . En particular, si el campo K {\displaystyle K} es infinito tienes que si rk ⁡ ( A ) = y {\displaystyle \operatorname {rk} (a) = n} entonces la solución es única, de lo contrario hay un sinfín de soluciones. Se aplican las siguientes dos relaciones: donde y {\displaystyle n} es el número de incógnitas, y m {\displaystyle m} es el número de ecuaciones en el sistema.

El sistema se puede describir de manera más compacta, introduciendo el vector de coordenadas: y utilizando el producto entre matrices y vectores, de la siguiente manera: esta relación dice que un vector conocido b {\displaystyle \mathbf {b} } usted quiere tanto la imagen de un vector de incógnito x {\displaystyle \mathbf {x} } obtenido por aplicación lineal L A : K y → K m {\displaystyle L_{A}: K^{n} \ to K^{m}} asociado con la matriz de coeficientes: por lo que el sistema admite solución si y solo si b {\displaystyle \mathbf {b} } es la imagen de al menos un vector x {\displaystyle \mathbf {x} } de K y {\displaystyle K^{n}} , es decir, si y solo si es parte de la imagen de L A {\displaystyle L_ {A}} Se observa que la imagen de L A {\displaystyle L_ {A}} se genera linealmente a partir de los vectores dados por las columnas de A {\displaystyle A} . Entonces b {\displaystyle \mathbf {b} } está contenido en la imagen si y solo si el lapso de las columnas de A {\displaystyle A} contener b {\displaystyle B} , es decir, si y solo si el lapso de las columnas de A {\displaystyle A} es igual al intervalo de las columnas de ( A | b ) {\displaystyle (A / \ mathbf {b})} . Si hay una solución x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} , cualquier otra solución se escribe como x 0 + v {\displaystyle \mathbf {x} _{0}+ \ mathbf {v} } , donde v {\displaystyle \ mathbf {v} } es una solución del sistema lineal homogéneo asociado: de hecho: el espacio de las soluciones, obtenido mediante la traducción del núcleo con el vector x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} , es así el subespacio afín dado por: el tamaño del espacio de las soluciones del sistema completo es igual al tamaño del espacio de las soluciones del sistema homogéneo asociado Esta última afirmación equivale a pedir que las dos matrices tengan el mismo rango. Las soluciones del sistema lineal homogéneo asociado son el núcleo de la aplicación L A {\displaystyle L_ {A}} y para el teorema de la dimensión el núcleo es un subespacio vectorial de dimensión y − ρ ( A ) {\displaystyle n - \ rho (A)} . A continuación, el espacio de las soluciones, obtenido mediante la traducción del núcleo con el vector x {\displaystyle x} , es un subespacio afín del mismo tamaño.

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