Teorema de rango

En álgebra lineal, el teorema de rango, también llamado teorema de nulidad más rango, o teorema de dimensión, establece que la suma entre el tamaño de la imagen y el tamaño del núcleo de una transformación lineal es igual al tamaño del dominio. Equivalentemente, la suma del rango y la nulidad de una matriz es igual al número de columnas de la matriz.

El teorema se aplica en el contexto de transformaciones lineales entre espacios vectoriales, con la suposición de que el espacio vectorial inicial tiene una dimensión finita. Dada una aplicación lineal entre espacios vectoriales: el teorema establece que la relación es válida: donde Im ( f ) {\displaystyle {\textrm {Im}} (f)} y Ker ( f ) {\displaystyle {\textrm {Ker}} (f)} son la imagen y el núcleo de respectivamente f {\displaystyle F} y y {\displaystyle n} es el tamaño de V {\displaystyle V} . Equivalentemente, si A {\displaystyle A} es una matriz m × y {\displaystyle m \ times n} entonces: dónde nulo ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {null} (A)} indica la nulidad de A {\displaystyle A} es decir, el atenuar ⁡ Ker ⁡ ( A ) {\displaystyle \dim \ operatorname {Ker} (A)} , o índice de nulidad. La equivalencia de las declaraciones proviene del hecho de que cada aplicación lineal f : K y → K m {\displaystyle F \ colon K^{n} \ to k^{m}} se puede escribir, pasando coordenadas con respecto a dos bases fijas, de la siguiente manera: donde A {\displaystyle A} es la matriz de transformación asociada con f {\displaystyle F} con respecto a dos bases de datos de los dos espacios vectoriales. El núcleo de f {\displaystyle F} es el espacio de las soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneas asociado a la matriz A {\displaystyle A} , mientras que la imagen es el espacio generado por sus columnas A 1 , … , A y {\displaystyle A^{1}, \ ldots, a^{n}} .

Ya V {\displaystyle V} tiene un tamaño finito, el subespacio vectorial Ker ( f ) {\displaystyle {\textrm {Ker}} (f)} también tiene Acabado Tamaño. Por lo tanto, el núcleo tiene una base: para el teorema de base incompleta hay v r + 1 , … , v y {\displaystyle \mathbf {v} _{r + 1}, \ ldots, \ mathbf {V} _{n}} tal que: es una base de V {\displaystyle V} . Para concluir es suficiente demostrar que los vectores: forman una base de Im ( f ) {\displaystyle {\textrm {Im}} (f)} . Entonces se asume dada una combinación lineal nula: por linealidad obtenemos: entonces: dado que este vector se encuentra en el núcleo, es expresable como una combinación lineal de los vectores v 1 , … , v r {\displaystyle \mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {V} _{r}} En otras palabras: porque ( v 1 , … , v y ) {\displaystyle (\mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \mathbf {v} _ {n})} es una base de V {\displaystyle V} , todos los coeficientes aquí son nulos La imagen es generada por vectores: el primero r {\displaystyle r} sin embargo, los vectores son nulos (según la definición de Ker), por lo que la imagen se genera y − r {\displaystyle n-r} Vectores: la independencia lineal de estos vectores queda por verificar. Especialmente, λ j = 0 {\displaystyle \ lambda_{j} = 0} para cada j {\displaystyle j} . Entonces los vectores f ( v r + 1 ) , … , f ( v y ) {\displaystyle F (\mathbf {v} _{r + 1}), \ ldots, f (\mathbf {V} _{n})} son efectivamente independientes. La imagen entonces tiene dimensión y − r {\displaystyle n-r} . Pues: .

El teorema de rango puede ser visto como un corolario del primer teorema de isomorfismo: donde f {\displaystyle F} es un homomorfismo de grupos (en particular, de espacios vectoriales) que actúa sobre V {\displaystyle V} . Tenemos de hecho: esa es la afirmación del teorema.

Dada una aplicación lineal f : V → W , {\displaystyle F \ colon V \ to W, } con atenuar ⁡ ( V ) = y {\displaystyle \ dim (V) = n} y atenuar ⁡ ( W ) = m , {\displaystyle \ dim (W) = m, } de ello se desprende, por tanto, que, si m = y {\displaystyle m = n} , la aplicación lineal es inyectiva si y solo si es sobreyectiva. Además, según el tamaño m {\displaystyle m} y y {\displaystyle n} , tienes que: .

Supongamos el caso particular donde la aplicación lineal es un endomorfismo, es decir, una aplicación lineal f : V → V {\displaystyle F \ colon V \ to V} desde el espacio V {\displaystyle V} en sí mismo. El informe acaba de demostrar: dice que la inyectividad y la surjectividad de la aplicación se involucran mutuamente. En el caso infinito esto deja de ser verdad. Por ejemplo, considerando: como un espacio vectorial en R {\displaystyle \ mathbb {R} } y aplicación f : R ∞ → R ∞ {\displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^{\infty }\to \ mathbb {R} ^{\infty }} que actúa "moviendo" las coordenadas hacia adelante y poniendo el cero en la primera posición, es decir: es inmediato demostrar que tal aplicación es lineal e inyectiva, pero trivialmente no sobreyectiva.

En un lenguaje más moderno, el teorema se puede expresar de la siguiente manera. Si: es una sucesión exacta corta de espacios vectoriales, entonces: aquí R {\displaystyle R} juega el papel de Im ⁡ T {\displaystyle \ operatorname {Im} T} y U {\displaystyle U} ser ker ⁡ T {\displaystyle \operatorname {ker} T} . El índice de un mapa lineal T : V → W {\displaystyle T \ colon V \ to W} , donde V {\displaystyle V} y W {\displaystyle W} son tamaño finito, se define por: intuitivamente, atenuar ⁡ ker ⁡ T {\displaystyle \ dim \ operatorname {ker} T} es el número de soluciones independientes x {\displaystyle x} de la ecuación T x = 0 {\displaystyle Tx=0} , y atenuar ⁡ Coque ⁡ T {\displaystyle \dim \ operatorname {coker} T} ¿es el número de restricciones independientes que deben y {\displaystyle y} hacer T x = y {\displaystyle Tx = y} solucionable En el caso de las dimensiones finitas, esta formulación es susceptible de generalización. Si: es una sucesión exacta de espacios vectoriales de dimensión finita, entonces: el teorema de rango para espacios vectoriales de dimensión finita también se puede formular en términos de los índices de un mapa lineal. El teorema de rango para espacios vectoriales de dimensión finita es equivalente a la expresión: se ve que podemos leer fácilmente el índice del mapa lineal T {\displaystyle T} desde los espacios involucrados, sin necesidad de examinar T {\displaystyle T} detalladamente. Este efecto también se encuentra en un resultado mucho más profundo: el teorema del índice de Atiyah - Singer establece que el índice de ciertos operadores diferenciales se puede leer a partir de la geometría de los espacios involucrados.

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