Teorema de inversión de Lagrange

En el análisis matemático, el teorema de inversión de Lagrange, también conocido como la fórmula de Lagrange–Bürmann, proporciona la expansión de la serie de Taylor de la inversa de una función analítica.

Entonces usted puede invertir o resolver la ecuación para w {\displaystyle w} en forma de una serie en términos de z {\displaystyle z} , es decir, donde el teorema también establece que la serie tiene un radio de convergencia distinto de cero, es decir, que representa una función analítica de z {\displaystyle z} (que usted podría indicar con Gram ( z ) {\displaystyle g (z)} en una ronda de z = f ( a ) {\displaystyle z=F (a)} Ambos z {\displaystyle z} definido en función de w {\displaystyle w} por una ecuación en la forma donde f {\displaystyle F} es analítico en el punto w = a {\displaystyle w = a} y también f ′ ( a ) ≠ 0 {\displaystyle F ''(A) \ neq 0} . Este procedimiento también se llama reversión de serie. Si la hipótesis analítica de la función no se verifica, la fórmula sigue siendo válida para Series de potencias formales y puede generalizarse de varias maneras. Se puede formular para múltiples funciones variables, se puede ampliar para proporcionar una fórmula lista para F ( Gram ( z ) ) {\displaystyle F (g (z))} para cualquier función analítica F {\displaystyle F} y finalmente generalizado al caso f ′ ( a ) = 0 {\displaystyle F '' (A)=0} , donde el reverso Gram {\displaystyle g} es una función de polidromo. El teorema fue demostrado por Lagrange y generalizado por Hans Heinrich Bürmann,, ambos a finales del siglo XVIII. Hay una clara derivación utilizando el análisis complejo y la integración en contornos; la versión de la serie formal de potencias complejas es una consecuencia del conocimiento de la fórmula para polinomios, por lo tanto, la teoría de funciones analíticas puede ser aplicada. Si es posible expresar funciones f {\displaystyle F} y Gram {\displaystyle g} en una serie formal de poderes como con f 0 = 0 {\displaystyle f_{0} = 0} y f 1 ≠ 0 {\displaystyle f_{1} \ neq 0} , entonces se puede dar una forma explícita de los coeficientes inversos en términos de polinomios de Bell: donde f ^ k = f k + 1 ( k + 1 ) f 1 , {\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{K + 1}} {(k + 1) f_{1}}}, } Gram 1 = 1 f 1 , {\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}, } y y ( k ) = y ( y + 1 ) ⋯ ( y + k − 1 ) , {\displaystyle n^{(k)} = n (N+1)\cdots (n + k-1), } siendo el factorial creciente Cuando f 1 = 1 {\displaystyle f_{1}=1} , la última fórmula se puede interpretar en términos de las caras del asociaedro con f F = f Me 1 ⋯ f Me m {\displaystyle f_{F}=f_{i_{1}} \ cdots f_{i_{m}}} para cada rostro F = K Me 1 × ⋯ × K Me m {\displaystyle F = k_{i_{1}} \ times \ cdots \times K_{i_{m}}} de la associahedron K y {\displaystyle K_ {n}} Si f {\displaystyle F} es una serie formal de potencias, entonces la fórmula anterior no da los coeficientes del inverso multiplicativo Gram {\displaystyle g} directamente en términos de los coeficientes de f {\displaystyle F} .

Por ejemplo, la ecuación algebraica de grado p {\displaystyle p} en la forma se puede resolver en x {\displaystyle x} por la fórmula de inversión de Lagrange aplicada a la función f ( x ) = x − x p {\displaystyle F (x) = x-x^{p}} , lo que lleva a la solución serial formal de las pruebas de convergencia, esta serie es de hecho convergente para | z | ≤ ( p − 1 ) p − p / ( p − 1 ) {\displaystyle / z / \ leq(p - 1)p^ {- p/(p - 1)}} , que es también el disco más grande en el que un inverso local de f {\displaystyle F} se puede definir

Hay un caso especial del teorema de inversión de Lagrange que se utiliza en combinatoria y se aplica cuando f ( w ) = w / ϕ ( w ) {\displaystyle F(w)=w/\phi (w)} para alguna función analítica ϕ ( w ) {\displaystyle \phi (w)} con ϕ ( 0 ) ≠ 0 {\displaystyle \ phi (0) \ neq 0} . Tomar a = 0 {\displaystyle A = 0} usted consigue f ( a ) = f ( 0 ) = 0 {\displaystyle F (A) = f (0)=0} y también que alternativamente se puede escribir como donde {\displaystyle } es un operador que extrae los coeficientes de w r {\displaystyle w^{r}} en la serie de Taylor de una función de w {\displaystyle w} . A veces, la derivada H ′ ( w ) {\displaystyle H '' (w)} puede ser bastante complicado, por lo que una versión más simple de la fórmula reemplaza H ′ ( w ) {\displaystyle H '' (w)} con H ( w ) ( 1 − ϕ ′ ( w ) / ϕ ( w ) ) {\displaystyle H(w) (1 - \ phi ''(w)/ \ phi (w))} para octnere que implica ϕ ′ ( w ) {\displaystyle \ phi " (w)} en lugar de H ′ ( w ) {\displaystyle H '' (w)} Una generalización útil de la fórmula se conoce como la fórmula de Lagrange-Bürmann: donde H {\displaystyle H} es una función analítica arbitraria. La función W de Lambert es una función W ( z ) {\displaystyle W (z)} que está definido implícitamente por la ecuación se puede utilizar el teorema para calcular los coeficientes de la serie de taylor de W ( z ) {\displaystyle W (z)} en z = 0 {\displaystyle z=0} . Tomar f ( w ) = w y w {\displaystyle f (w) = w \ mathrm {e} ^{w}} , a = f ( a ) = 0 {\displaystyle A = f(A) = 0} y reconociendo que obtienes el radio de convergencia de esta serie es y − 1 {\displaystyle E^ {- 1}} (este ejemplo se refiere a la rama principal de la función de Lambert.) Una serie que converge para z {\displaystyle z} mayor (aunque no para todos) se puede derivar de invertir la serie de Otra función. Función f ( z ) = W ( y z ) − 1 {\displaystyle F (z) = W (E^{z}) - 1\, } satisface la ecuación, entonces z + ln ⁡ ( 1 + z ) {\displaystyle z+\ln (1 + z)\, } puede expandirse en una serie de poderes y revertirlo. Esto de una serie para f ( z + 1 ) = W ( y z + 1 ) − 1 {\displaystyle F (z+1) = W (E^{z+1}) - 1\, } : W ( x ) {\displaystyle W (x)} se calcula sustituyendo ln ⁡ x − 1 {\displaystyle \ ln x - 1} en lugar de z {\displaystyle z} en la serie anterior. Por ejemplo, reemplazar x = 1 {\displaystyle x=1} y así z = − 1 {\displaystyle z = - 1} tiene el valor de W ( 1 ) = 0. 567143 {\displaystyle W(1)=0. 567143} . Considere el conjunto B {\displaystyle {\mathcal {B}}} árboles binarios sin marcar. Un elemento de B {\displaystyle {\mathcal {B}}} es una hoja de tamaño cero o una raíz con dos subárboles. B y {\displaystyle B_ {n}} indica el número de árboles binarios con y {\displaystyle n} nodo. Tenga en cuenta que la eliminación de la raíz divide el árbol binario en dos árboles de menor tamaño. Esto proporciona la ecuación funcional de la función generadora B ( z ) = ∑ y = 0 ∞ B y z y {\displaystyle B (z) = \ sum _ {n = 0}^{\infty} b_{n} z^{n}} : Lugar C ( z ) = B ( z ) − 1 {\displaystyle C(z) = B (z) - 1} , usted tiene tan C ( z ) = z ( C ( z ) + 1 ) 2 {\displaystyle C (z) = z (C (z)+1)^{2}} . Ahora aplicando el teorema de inversión a la función ϕ ( w ) = ( w + 1 ) 2 {\displaystyle \ phi (w) = (w+1)^{2}} , Se concluye así que B y {\displaystyle B_ {n}} es un número catalán. En el teorema de Laplace-Erdelyi que proporciona la aproximación asintótica para integrales del tipo de Laplace, la inversión de la función es un paso crucial del procedimiento.

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