Teorema de Hahn-Banach

En matemáticas, en particular el análisis funcional, El teorema de Hahn-Banach es un teorema que permite la extensión de operadores lineales con limitado definido en un subespacio de algún espacio vectorial a todo el espacio, y también muestra que hay suficiente lineal funcional continua definida en cada espacio proporcionado como para hacer el estudio del espacio dual interesante. Se llama así gracias a Hans Hahn y Stefan Banach, que demostraron este teorema independientemente el uno del otro en los años veinte.

Ambos V {\displaystyle V} un espacio vectorial en el campo K {\displaystyle K} (que puede ser el verdadero R {\displaystyle \mathbb {R} } o el complejo C {\displaystyle \mathbb {C} } ). Función f : V → R {\displaystyle f:V\to \ mathbb {R} } se dice que subline si: cada seminorma en V {\displaystyle V} , y en particular cualquier norma sobre V {\displaystyle V} es sublinear. El teorema de Hahn-Banach establece que si Y : V → R {\displaystyle {\mathcal {N}}: V \ to \ mathbb {R} } es una función sublineal y φ : U → R {\displaystyle \ varphi: U\to \ mathbb {R} } es un funcional lineal en un subespacio vectorial U ⊆ V {\displaystyle U \ subseteq V} y φ {\displaystyle \ varphi } está dominado por Y {\displaystyle {\mathcal {N}}} en U {\displaystyle U} , es decir: entonces hay una extensión lineal ψ : V → R {\displaystyle \psi: V \ to \ mathbb {R} } de φ {\displaystyle \ varphi } definido en todo el espacio En otras palabras, hay una función lineal ψ {\displaystyle \psi } tal que: la extensión ψ {\displaystyle \psi } generalmente no se determina únicamente por φ {\displaystyle \ varphi } y la demostración no proporciona un método para encontrar ψ {\displaystyle \psi } en el caso de un espacio de dimensión infinita V {\displaystyle V} pero se apoya en el lema por Zorn También se dice que una función F {\displaystyle F} es la extensión de una función f {\displaystyle F} si el dominio de F {\displaystyle F} contiene el de f {\displaystyle F} y las funciones coinciden en cada punto en el dominio de f {\displaystyle F} . La condición de sublinealidad en Y {\displaystyle {\mathcal {N}}} puede debilitarse ligeramente asumiendo que: a {\displaystyle a} y b {\displaystyle B} en K {\displaystyle K} tal que | a | + | b | = 1 {\displaystyle / A/ + / b / =1} .

Ambos X {\displaystyle X} un espacio vectorial en R {\displaystyle \mathbb {R} } y ser p : X → R {\displaystyle p:X\to \ mathbb {R} } una función tal que: Y {\displaystyle y} un subespacio de X {\displaystyle X} y ser f : Y → R {\displaystyle f:Y\to \ mathbb {R} } una función lineal tal que: entonces hay una función lineal F : X → R {\displaystyle F:X\to \ mathbb {R} } tal que: para probar este hecho, ser z ∈ X ∖ Y {\displaystyle z \ in X \ setminus y} y considerar el subespacio de X {\displaystyle X} definido como sigue: extiende f {\displaystyle F} sobre todo Y z {\displaystyle y_{z}} colocación: donde f ~ ( z ) {\displaystyle {\tilde {f}} (z)} es un número real que se determina en el siguiente Tienes: por lo tanto resulta: y entonces: entonces existe c ∈ R {\displaystyle c \ in \ mathbb {R} } tal que: de esta desigualdad se puede ver que: es por lo tanto: para cada y ∈ Y {\displaystyle Y \ in y} y por cada a ∈ R {\displaystyle A \ in \ mathbb {R} } resulta que: es decir: que sea ahora Y {\displaystyle E} el conjunto de extensiones lineales y {\displaystyle e} de f {\displaystyle F} tal que y ( x ) ≤ p ( x ) {\displaystyle E (x) \ leq p (x)} para cada x {\displaystyle x} pertenece al dominio de la definición de y {\displaystyle e} Se define en Y {\displaystyle E} un informe de la orden diciendo que y 1 ≤ y 2 {\displaystyle E_{1} \ leq e_{2}} si el dominio de la definición de y 1 {\displaystyle e_{1}} está contenido en el dominio de definición de y 2 {\displaystyle e_{2}} y y 1 {\displaystyle e_{1}} y y 2 {\displaystyle e_{2}} coinciden en el dominio de la definición de y 1 {\displaystyle e_{1}} Considerar un subconjunto arbitrario totalmente ordenado de Y {\displaystyle E} denotado por U = { y a , a ∈ A } {\displaystyle u = \ left\{e_{a}, a\in a \ right\}} , donde A {\displaystyle A} es un conjunto arbitrario de índices, y ser X a {\displaystyle X_ {a}} la definición de dominio de y a ∈ U {\displaystyle e_{a} \ in U} Se pone Y = ∪ a ∈ A X a {\displaystyle Y = \ cup _ {A\in a}X_{a}} y, dado y ∈ Y {\displaystyle Y \ in y} , se define y ( y ) = y b ( y ) {\displaystyle E (y)=e_{b} (y)} , donde b ∈ A {\displaystyle B \ en A} es cualquier índice de A {\displaystyle A} tal que y ∈ X b {\displaystyle Y \ in x_ {b}} Función f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} es una extensión lineal de f {\displaystyle F} . Ahora y 1 , y 2 ∈ Y {\displaystyle y_{1}, y_{2}\in Y} y a , b & gt; 0 {\displaystyle A, b> 0} . Para el punto anterior Y {\displaystyle E} es un conjunto no trivial. La definición de y {\displaystyle e} está bien situado, y y {\displaystyle e} es una extensión lineal de cada y a ∈ U {\displaystyle e_{a} \ in U} . También resulta y ( x ) ≤ p ( x ) ∀ x ∈ Y {\displaystyle E (x) \ leq p (x)\ \ forall x \ in y} . De ello se desprende que y {\displaystyle e} es un límite superior para U {\displaystyle U} . Ser U {\displaystyle U} un subconjunto arbitrario totalmente ordenado de Y {\displaystyle E} El lema de Zorn implica que hay un elemento máximo de Y {\displaystyle E} denotado por F {\displaystyle F} . Ambos Y ~ {\displaystyle {\tilde {Y}}} la definición de dominio de F {\displaystyle F} . Si usted demuestra que Y ~ = X {\displaystyle {\tilde {y}} = X} , el teorema está probado. Conjunto Y ~ {\displaystyle {\tilde {Y}}} es un subespacio de X {\displaystyle X} . Supongamos, por absurdo, que existe z ∈ X ∖ Y ~ {\displaystyle z \ in X \ setminus {\tilde {Y}}} . Aplicar el primer punto al subespacio: puede construir una extensión no trivial de F {\displaystyle F} que, para las propiedades mostradas en el primer punto, contradice la maximalidad de F {\displaystyle F} en Y {\displaystyle E} . De ahí el absurdo que concluye la manifestación.

Hay algunas consecuencias importantes del teorema que a veces también se llaman "teorema de Hahn-Banach" : el proyecto Mizar ha formalizado completamente y comprobado automáticamente la prueba del teorema de Hahn-Banach en el archivo de Hahnban.

El teorema de Hahn-Banach tiene dos corolarios importantes, también conocidos como la primera y segunda forma geométrica, cuya formulación requiere algunas nociones preliminares. Ambos X {\displaystyle X} un espacio vectorial normado en R {\displaystyle \ mathbb {R} } y ser f : X → R {\displaystyle f:X\to \ mathbb {R} } una función lineal continua distinta de cero. Dados dos subconjuntos A , B {\displaystyle A, B} de X {\displaystyle X} no vacía y disjunta, se dice que el hiperplano H {\displaystyle H} separado A {\displaystyle A} y B {\displaystyle B} si resulta: y: dice que el hiperplano H {\displaystyle H} separado A {\displaystyle A} y B {\displaystyle B} en sentido estrecho si hay un número ε & gt; 0 {\displaystyle \varepsilon > 0} tal que: y: entonces se aplican los siguientes corolarios del teorema de Hahn - Banach Dar a ∈ R {\displaystyle A \ in \ mathbb {R} } , el conjunto: se dice hiperplano en X {\displaystyle X} de la ecuación f = a {\displaystyle F = a} . Ser X {\displaystyle X} un espacio vectorial normado en R {\displaystyle \ mathbb {R} } , A , B {\displaystyle A, B} dos subconjuntos no vacíos, convexos y disjuntos de X {\displaystyle X} y supongamos que al menos uno de ellos está abierto. Entonces hay un hiperplano de ecuación f = a {\displaystyle F = a} separar A {\displaystyle A} y B {\displaystyle B} . Ser X {\displaystyle X} un espacio vectorial normado en R {\displaystyle \ mathbb {R} } , A , B {\displaystyle A, B} dos subconjuntos cerrados no vacíos, convexos y disjuntos de X {\displaystyle X} y supongamos que al menos uno de ellos es compacto. Entonces hay un hiperplano de ecuación f = a {\displaystyle F = a} separar A {\displaystyle A} y B {\displaystyle B} estrictamente hablando.

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