Teorema de Fermat sobre puntos estacionarios

El teorema de Fermat sobre puntos estacionarios (no debe confundirse con el último teorema de Fermat, el pequeño teorema de Fermat o el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados) es un teorema del análisis matemático, llamado así por Pierre de Fermat. El teorema proporciona un método para encontrar los puntos máximos y mínimos de una función diferenciable, mostrando que cada punto extremo local es un punto estacionario de la función (es decir, la derivada antes de que la función cancele en ese punto). Así, Usando el teorema de Fermat, el problema de encontrar los puntos extremos de una función se reduce a resolver una ecuación. Es importante tener en cuenta que el teorema de Fermat solo da una condición necesaria para el valor de los extremos de la función: es cierto que todos los puntos extremos son estacionarios, pero también hay algunos puntos estacionarios que no son puntos extremos, pero pueden ser puntos de inflexión (o, en el caso de una función de más variables, puntos o puntos de silla de montar de una naturaleza diferente). Para evaluar si un punto estacionario es un valor extremo y distinguir si ese punto es un máximo o un mínimo, generalmente es necesario analizar la derivada dependiendo de la función (si existe).

Ambos f : ( a , b ) → R {\displaystyle F: (A, b)\to \ mathbb {R} } una función y supongamos que x 0 ∈ ( a , b ) {\displaystyle x_{0}\in (a, b)} ser un punto extremo local de f {\displaystyle F} . Si f {\displaystyle F} es derivable en el punto x 0 {\displaystyle x_{0}} , entonces f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle F^{\prime } (x_{0}) = 0} .

La siguiente es la idea en la que se basa la prueba del teorema para los puntos máximos de la función (pero el razonamiento se aplica, con las modificaciones apropiadas, también para los puntos mínimos). Si x 0 {\displaystyle x_{0}} en ( a , b ) {\displaystyle (A, b)} es un punto máximo local, entonces hay un alrededor (pequeño al gusto) de x 0 {\displaystyle x_{0}} tal que la función está aumentando antes del punto y disminuyendo después. Dado que la derivada es positiva en los intervalos donde la función crece y es negativa en los intervalos donde la función disminuye, f ′ {\displaystyle f''} es positivo antes x 0 {\displaystyle x_{0}} y negativo después. f ′ {\displaystyle f''} debe asumir todos sus valores continuamente (para el teorema de Darboux), por lo que debe asumir necesariamente un valor cero en el punto donde de positivo se convierte en negativo. El único punto donde es posible que f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle F '' (x)=0} por lo tanto, es x 0 {\displaystyle x_{0}} . Tenga en cuenta que el teorema, así como su prueba, es más general que la intuición, ya que no requiere que la función sea diferenciable en una ronda de x 0 {\displaystyle x_{0}} . Como se indica en el teorema, es suficiente que la función sea diferenciable solo en el punto extremo. Así: por lo tanto, para cada h ∈ ( 0 , δ ) {\displaystyle h\in (0, \ delta)} vale la pena la relación ya que el límite de esta relación para h → 0 + {\displaystyle h \ to 0^{+}} existe y es igual a f ′ ( x 0 ) {\displaystyle F^{\prime } (x_{0})} (límite de la relación incremental), entonces se puede concluir (permanencia del signo) que f ′ ( x 0 ) ≤ 0 {\displaystyle f^{\prime } (x_{0}) \ leq 0} Supongamos que x 0 {\displaystyle x_{0}} let ser un punto máximo local (la demostración también se aplica en caso de x 0 {\displaystyle x_{0}} ser un mínimo). Por otra parte, para h ∈ ( − δ , 0 ) {\displaystyle h\in (- \delta, 0)} usted nota que de nuevo, el límite para h → 0 − {\displaystyle h \ to 0^{ - }} pena f ′ ( x 0 ) {\displaystyle F^{\prime } (x_{0})} , de la que tenemos f ′ ( x 0 ) ≥ 0 {\displaystyle f^{\prime } (x_{0}) \ geq 0} . Combinando los resultados obtenidos, se puede concluir que f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle F^{\prime } (x_{0}) = 0} , C. V. D.

Un error sutil que a menudo aparece en el contexto del teorema de Fermat es la suposición de que hace una declaración más fuerte sobre el comportamiento local de lo que realmente afirma. Cabe destacar que el teorema de Fermat no dice que las funciones (monótonas) "crezcan hacia" o "disminuyan desde" un máximo local. Esto es muy similar con el malentendido de que un límite significa "acercarse monótonamente a un punto" . Si f {\displaystyle F} es derivable con continuidad (es decir, si es C 1 {\displaystyle C^{1}} ) in an open spot Round x 0 {\displaystyle x_{0}} , entonces f ′ ( x 0 ) & gt; 0 {\displaystyle F '' (x_{0}) & gt; 0} significa que f {\displaystyle F} está creciendo en un entorno de x 0 , {\displaystyle x_{0}, } como sigue: Si f ′ ( x 0 ) = K & gt; 0 {\displaystyle F '' (x_{0}) = K & gt; 0} y f ∈ C 1 , {\displaystyle f \ in C^{1}, } por lo tanto, de la continuidad de la derivada, existen ε 0 & gt; 0 {\displaystyle \varepsilon _ {0} & gt; 0} tal que f ′ ( x ) & gt; K / 2 {\displaystyle F '' (x) & GT; K/2} ∀ x ∈ ( x 0 − ε 0 , x 0 + ε 0 ) {\displaystyle \forall x\in \left (x_{0} - \ varepsilon_ {0}, x_{0}+ \ varepsilon _{0} \ right)} Para las "buenas funciones" (que aquí significa continuamente derivables), alguna intuición sostiene, pero en general las funciones podrían ser patológicas, como se ilustra a continuación. La moraleja es que las derivadas determinan el comportamiento infinitesimal, y que las derivadas continuas determinan el comportamiento local. Entonces f {\displaystyle F} está aumentando en este rango. Del teorema de Lagrange: la pendiente de cada secante es al menos K / 2 , {\displaystyle K/2, } porque es igual a la pendiente de alguna tangente. Por el contrario, si la derivada de f {\displaystyle F} en un punto es 0 ( x 0 {\displaystyle x_{0}} es un punto estacionario), generalmente no se puede concluir nada sobre el comportamiento local de la función: podría crecer desde ambos lados (como en x 3 {\displaystyle x^{3}} ), disminuir en un lado y crecer en el otro (según x 4 {\displaystyle x^{4}} ), crecer y luego disminuir (como en − x 4 {\displaystyle-X^{4}} ), o comportarse de maneras más complicadas, como balancearse (como x 2 ( sin ⁡ ( 1 / x ) ) {\displaystyle x^{2} (\sin (1 / x))} , como se indica a continuación) Sin embargo, en las hipótesis generales del teorema de Fermat, donde se da que solo la derivada "en" x 0 {\displaystyle x_{0}} ser positivo, solo se puede concluir que las líneas secantes "a través de" x 0 {\displaystyle x_{0}} tendrá pendiente positiva, para secantes entre x 0 {\displaystyle x_{0}} y puntos muy cercanos. Si la función es suficientemente derivable y si la primera derivada no x 0 {\displaystyle x_{0}} es una función continua, entonces se puede deducir el comportamiento local (es decir, si f ( k ) ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle f^{(k)} (x_{0}) \ neq 0} es la primera derivada no nada, y f ( k ) {\displaystyle F^{(k)}} es continuo, así que f ∈ C k {\displaystyle f \ in C^{k}} ) En este caso se puede tratar f {\displaystyle F} como localmente cerca de un polinomio de grado k {\displaystyle k} , ya que se comporta aproximadamente como f ( k ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) k , {\displaystyle f^{(k)} (x_{0}) (x - x_{0})^{k}, } pero si el k {\displaystyle k} - th derivado no es continua, no se puede saca ciertas conclusiones, y puedes tener una tendencia bastante diferente La tendencia local se puede analizar probando los derivados de segundo y superior orden. Considere la función sin ⁡ ( 1 / x ) , {\displaystyle \ sin (1 / x), } oscila creciendo rápidamente entre − 1 {\displaystyle - 1} y 1 {\displaystyle 1} si x {\displaystyle x} acercar 0 {\displaystyle 0} . } Si extiende esta función con f ( 0 ) := 0 , {\displaystyle F (0): = 0, } entonces es continuo y en todas partes derivable (es derivable en x = 0 {\displaystyle x = 0} con nada derivado), pero tiene un comportamiento algo extraño cerca 0 {\displaystyle 0} : en cada ronda de 0 {\displaystyle 0} se cancela infinitamente muchas veces, pero también se convierte en igual a 2 x 2 {\displaystyle 2x^{2}} (un número positivo) frecuentemente Continuando en esta línea, f ( x ) = ( 2 + sin ⁡ ( 1 / x ) ) x 2 {\displaystyle F (x) = (2 + \ sin (1/x))x^{2}} oscila entre x 2 {\displaystyle x^{2}} y 3 x 2 {\displaystyle 3x^{2}} , x = 0 {\displaystyle x = 0} es un mínimo tanto local como global, pero en ningún caso su función alrededor está creciendo o disminuyendo: columpios salvajemente cerca de x = 0 {\displaystyle x = 0} Considere entonces f ( x ) = ( 1 + sin ⁡ ( 1 / x ) ) x 2 , {\displaystyle F (x) = (1 + \ sin (1/x))x^{2}, } esto oscila creciendo rápidamente entre 0 {\displaystyle 0} y 2 x 2 {\displaystyle 2x^{2}} si x {\displaystyle x} tiende a 0. {\displaystyle 0. Esta patología se puede entender porque, si bien la función es derivable en todas partes, no es derivable con continuidad: el límite de f ′ ( x ) {\displaystyle F '' (x)} con x → 0 {\displaystyle x \ to 0} no existe, por lo que la derivada no es continua en 0. {\displaystyle 0. } Esto refleja las oscilaciones entre aumentar y disminuir el valor si se acerca al punto crítico x = 0 {\displaystyle x = 0} .

Hay una versión del teorema de Fermat que se refiere a funciones variables vectoriales, es decir, funciones de tipo (que se reduce a la declaración anterior para y = 1 {\displaystyle n=1} ). Ambos Ω ⊂ R y {\displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {r} ^{n}} abierto, y ambos f : Ω → R {\displaystyle f:\Omega \ to \ mathbb {R} } ; ambos x 0 ∈ Ω {\displaystyle \mathbf {x_{0}} \ in \ Omega } un punto máximo o mínimo local para f {\displaystyle F} y ser f {\displaystyle F} diferenciable en x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } El teorema proporciona una condición necesaria (no suficiente) que debe satisfacer los puntos estacionarios dentro de un Ω {\displaystyle \ Omega } (no se puede aplicar a la búsqueda de extremidades "atadas" , es decir, pertenecientes a la frontera del conjunto). Entonces el gradiente de f {\displaystyle F} calculado en x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } es el Vector nulo, es decir .

Ambos v {\displaystyle \ mathbf {v} } un vertedero (es decir, ‖ v ‖ {\displaystyle \ / \ mathbf {v} \|} = 1), y ser Gram {\displaystyle g} la función que mide el incremento de f {\displaystyle F} a lo largo de la dirección de v {\displaystyle \ mathbf {v} } , i. e.: ( f {\displaystyle F} se define en una ronda de x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } , ya que este es un punto interno de Ω {\displaystyle \ Omega } ) La prueba hace uso del teorema que ya se ha demostrado para y = 1 {\displaystyle n=1} el teorema se probará en el caso de que x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } dejado ser un punto mínimo local, pero la demostración es enteramente análoga para los puntos máximos. Función Gram {\displaystyle g} admite mínimo en t = 0 {\displaystyle T = 0} porque por hipótesis f ( x ) ≥ f ( x 0 ) {\displaystyle F (\mathbf {x}) \ geq f (\mathbf {x_{0}})} para todos x {\displaystyle \mathbf {x} } en una ronda de x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } . Teorema de Fermat para las funciones variables reales garantiza en este punto que Gram ′ ( 0 ) = ∂ f ∂ v ( x 0 ) = 0 {\displaystyle g^{\prime }(0)={\frac {\partial {f}}{\partial \mathbf {v} }}(\mathbf {x_{0}})=0} ; dado que todas las derivadas direccionales en el punto son nulas, en particular las derivadas a lo largo de los ejes coordinados (derivadas parciales) serán nulas, y entonces ∇ f ( x 0 ) = 0 {\displaystyle \ nabla f (\mathbf {x_{0}})=0} También, Gram {\displaystyle g} es derivable en t = 0 {\displaystyle T = 0} , por qué y la derivada direccional de f {\displaystyle F} largo v {\displaystyle \ mathbf {v} } existir ( f {\displaystyle F} es diferenciable en x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } , por lo que admite todas las derivadas direccionales en ese punto). Q. E. De la demostración se ve que la hipótesis de diferenciabilidad de f {\displaystyle F} en x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } no es esencial (solo se requiere la existencia de Derivadas Parciales); la declaración podría reformularse de la siguiente manera: si x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } es un punto extremo para f {\displaystyle F} , y si hay una derivada direccional de f {\displaystyle F} en el punto x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } , entonces tal derivado no es nada D.

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