Teorema de dimensión para espacios vectoriales

En matemáticas, el teorema de dimensión para espacios vectoriales establece que las diferentes bases del mismo espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, es decir, consisten en el mismo número de elementos. La cardinalidad de la base también es igual al tamaño del espacio. En otras palabras, ambos Vídeo {\displaystyle V} un espacio vectorial en un campo K {\displaystyle K} . Ser Bienvenido ¿Por qué?} y C ¿Cómo funciona?} dos bases de Vídeo {\displaystyle V} el tamaño de los cuales es respectivamente y {\displaystyle n} y más {\displaystyle m} . Entonces y = más Método de codificación de datos:} .

Escribir cada vector Bienvenido ′ ¿Por qué?} como una combinación lineal de k {\displaystyle k} vectores de Bienvenido ¿Por qué?} , los coeficientes de la combinación lineal son k {\displaystyle k} elementos de campo K {\displaystyle K} : así que para cada vector de Bienvenido ′ ¿Por qué?} se obtiene un vector en K k Método de codificación de datos:}} (que representa sus coordenadas con respecto a Bienvenido ¿Por qué?} ) Se considera el caso cuando las bases tienen cardinalidad finita. Supongamos por absurdo que hay dos bases Bienvenido ¿Por qué?} y Bienvenido ′ ¿Por qué?} de Vídeo {\displaystyle V} que contienen k {\displaystyle k} y h {\displaystyle h} vectores, con k Y lt; h - Mostrar k & lt; h} . Siendo los vectores de Bienvenido ′ ¿Por qué?} en número igual a h {\displaystyle h} , usted tiene h {\displaystyle h} portador v 1 , … , v h ¿Cómo puedo hacerlo?}} en K k Método de codificación de datos:}} . Usando el algoritmo Gauss vemos que el sistema lineal homogéneo: con variables x 1 , … , x h ¿Qué puedes encontrar en Neodigit}} admite soluciones no triviales (es decir, diferentes del vector nulo), porque hay más incógnitas que ecuaciones. Cada una de estas soluciones no triviales proporciona una dependencia lineal entre los vectores de coordenadas v 1 , … , v h ¿Cómo puedo hacerlo?}} , lo que resulta en una relación de dependencia entre los vectores originales de Bienvenido ′ ¿Por qué?} . Por lo tanto, no pueden formar una base, contradiciendo la hipótesis.

La siguiente aplicación del teorema de dimensión a veces se llama a sí misma el "teorema de dimensión" . Ambos T : U → Vídeo ¿Qué puedes encontrar en Neodigit} una transformación lineal. Entonces: es decir, el tamaño de U ¿Por qué?} es igual al tamaño de la imagen y el tamaño del núcleo.

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