Teorema de diagonalizabilidad

En álgebra lineal, el teorema de diagonalizabilidad es una herramienta que proporciona una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada sea diagonalizable.

Ambos A {\displaystyle A} una matriz cuadrada de orden y {\displaystyle n} con valores en un campo K {\displaystyle K} (como el campo de números reales o complejos). El polinomio característico de A {\displaystyle A} es un polinomio DE GRADO n definido como sigue: λ 1 , … λ k {\displaystyle \ lambda _ {1}, \dots \lambda _ {k}} de p ( λ ) {\displaystyle P (\lambda)} pertenecer al campo K {\displaystyle K} son los valores propios de A {\displaystyle A} . L '' autospazio V Me {\displaystyle V_{i}} relativo al valor propio λ Me {\displaystyle \ lambda _{i}} es el conjunto de todos los vectores propios que tienen λ Me {\displaystyle \ lambda _{i}} como autovalor, más el Vector nulo: se dice multiplicidad geométrica (o nulidad) de λ Me {\displaystyle \ lambda _{i}} el tamaño del espacio automático V Me {\displaystyle V_{i}} relativo λ Me {\displaystyle \ lambda _{i}} Cada valor propio λ Me {\displaystyle \ lambda _{i}} tiene su propia multiplicidad como la raíz del polinomio característico, llamado multiplicidad algebraica. Un autovalor con multiplicidad algebraica 1 se dice simple. Un autovalor para el cual la igualdad entre las dos multiplicidades (algebraica y geométrica) vale se dice que es regular. El teorema de diagonalizabilidad establece que A {\displaystyle A} es diagonalizable si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: o equivalentemente, que A {\displaystyle A} es diagonalizable si y solo si la suma de las multiplicidades geométricas de sus autovalores es y {\displaystyle n} .

El primer punto del teorema implica que el polinomio característico tiene todas las raíces en el campo, es decir, que puede ser factorizado como un producto de polinomios de grado 1. Además, dicho m alg ( λ ) {\displaystyle m_ {\text{alg}} (\lambda)} y m geo ( λ ) {\displaystyle m_ {\text {geo}} (\lambda)} la multiplicidad algebraica y geométrica de un autovalor, respectivamente λ {\displaystyle \ lambda } , para cada autovalor se aplican las siguientes desigualdades: en consecuencia, el teorema de diagonalizabilidad tiene como corolario los siguientes hechos: .

Vamos a verificar que la siguiente matriz no es diagonalizable: su polinomio característico p ( x ) = ( 1 − x ) 2 {\displaystyle P (x) = (1-x)^{2}} tiene solo una raíz (que es 1 desde ( 1 − 1 ) 2 = 0 {\displaystyle (1 - 1)^{2}=0} ), con multiplicidad algebraica 2. Así que el primer punto del teorema está satisfecho. En este punto, la multiplicidad geométrica del autovalor 1 solo puede ser 1 o 2. Esto es igual al tamaño del núcleo de B = A − Me . {\displaystyle B = A-I. } Matriz B {\displaystyle B} tiene rango 1, por lo que para el teorema de Rango su núcleo tiene dimensión 2 − 1 = 1. {\displaystyle 2 - 1=1. } Así que la multiplicidad geométrica es 1, la algebraica es 2, por lo tanto la matriz no es diagonalizable.

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