Teoría del potencial

La teoría del potencial tiene como objeto las matemáticas del equilibrio y, en particular, el estudio de las funciones armónicas, dado su papel fundamental en los problemas del equilibrio en un medio homogéneo. La terminología se originó en la física clásica del siglo XIX, cuando se pensaba que todas las fuerzas fundamentales de la naturaleza derivan de potenciales que satisfacen la ecuación de Laplace. La teoría del potencial, en ese contexto cultural, era por lo tanto el estudio de las funciones que podrían representar matemáticamente potenciales. A principios del siglo XX algunos resultados de Kurt Otto Friedrichs y Richard Courant pusieron de manifiesto, de una manera obvia, la existencia de un vínculo profundo entre la teoría del potencial y algunos conceptos probabilísticos relacionados con las matemáticas del movimiento browniano : para que esta conexión íntima se explorara y sacara a la luz, era necesario esperar a la segunda mitad de destacados fueron Shizuo Kakutani, Kiyoshi Itō, Mark Kac, Gilbert A Los desarrollos de la física moderna se han revelado como las fuerzas de la naturaleza, actúan de una manera diferente: las leyes que las describen son sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales parciales, como es el caso de las ecuaciones de Einstein y las ecuaciones de la teoría cuántica de Yang - Mills, mientras que la ecuación de Laplace sigue siendo válida solo como un caso limitante. Hunt Jr, Joseph Leo Doob, Eugene Dynkin, Paul-André Meyer.

Dado que en los problemas de equilibrio en un medio homogéneo uno se encuentra regularmente con funciones armónicas, la teoría del potencial se ocupa esencialmente del estudio de los últimos objetos matemáticos. Un ejemplo clásico es el equilibrio estático de una membrana elástica fija de forma estable en un marco cerrado, rígida, fija y de cualquier forma. Otro ejemplo es el problema del equilibrio de un cuerpo homogéneo: si la temperatura ha alcanzado el equilibrio (es decir, si su distribución en el cuerpo, con el tiempo, no varía en ningún punto), entonces, centrada una bola en un punto P a temperatura T, la temperatura promedio en la superficie de la esfera debe ser igual a T: si es más larga, la temperatura en P aumentaría debido al efecto de un flujo de calor entrante, mientras que disminuiría en el caso inverso debido a un flujo de salida En condiciones de equilibrio, la altura de la membrana en cada punto es una función de dos variables reales que disfruta de la propiedad del valor medio, es decir, es una función armónica. Las investigaciones llevadas a cabo durante los años treinta del siglo XX por Kurt Otto Friedrichs, Richard Courant y Hans Lewy, ya habían eclipsado la existencia de una conexión insospechada y profunda con algunos conceptos probabilísticos, como el movimiento browniano, el proceso Wiener y el proceso Markoviano. A partir de esta intuición, la enucleación explícita de este estrecho vínculo matemático fue el resultado de una conquista matemática que se logró en la segunda mitad del siglo XX, con la investigación de una serie de matemáticos, incluidos Shizuo Kakutani, Kiyoshi Itō, Mark Kac, Gilbert A. Como ejemplo de este enlace, considere un dominio abierto Ω en el que la función escalar u satisface la ecuación de Laplace Δ u = 0 {\displaystyle \ Delta U = 0} y es igual a f en la Frontera: sea x un punto de Ω: entonces, la medida armónica en x de un subconjunto boreliano y de la frontera de Ω resulta ser exactamente igual a la probabilidad que es golpeada por primera vez por un movimiento browniano a partir de x y cuya trayectoria es interna al dominio Ω (En otras palabras, la medida armónica es igual a la probabilidad de que una partícula browniana a partir de x sea capaz de "escapar" a través de una abertura en el borde y forma igual, y podemos ver la figura a la derecha) Hunt Jr, Joseph Leo Doob, Eugene Dynkin, Paul-André Meyer, gracias a cuyo trabajo, a partir de los años cincuenta, la hipótesis de que la teoría del potencial encontró su contraparte probabilística en la teoría del movimiento browniano fue sacada a la luz satisfactoriamente. Del mismo modo, los conjuntos polares del límite Ω son aquellos que casi con certeza no se verán afectados por la trayectoria de la partícula. Posteriormente, la adopción de enfoques probabilísticos en la teoría abstracta del potencial resultó muy rentable, permitiendo no solo el descubrimiento de nuevos resultados matemáticos, sino también el acceso a un conocimiento más profundo de algunos conceptos de la teoría del potencial. Por otro lado, no fue un proceso unidireccional: el enfoque de la teoría potencial a los problemas probabilísticos llevó a la apertura de nuevos descubrimientos y una mejor comprensión de los resultados ya conocidos de la teoría de la probabilidad.

Hay, sin embargo, considerable superposición entre la teoría del potencial y la teoría de la ecuación de Laplace. En la medida en que es posible delinear una línea fronteriza entre los dos Campos, la diferencia está en el énfasis en los temas de estudio, y se basa en las siguientes distinciones: la teoría del potencial se centra en las propiedades de las funciones armónicas, en lugar de en las propiedades de la ecuación de Laplace. Por ejemplo, un resultado sobre las singularidades de las funciones armónicas se considerará como perteneciente a la teoría del potencial, como resultado de la dependencia de la solución de un problema por las condiciones de contorno se dice que pertenecen a la teoría de la ecuación de Laplace. Sin embargo, esta distinción no es inmediata ni concreta y, en la práctica, sigue habiendo una superposición considerable entre las dos esferas de estudio, lo que permite que los resultados y métodos de una se utilicen en la otra.

Un punto de partida útil, y principio de ordenación en el estudio de las funciones armónicas, es la consideración de simetrías en la ecuación de Laplace. Aunque no es exactamente una simetría en el sentido común del término, uno puede comenzar con la observación de que la ecuación de Laplace es lineal. Esto implica que el objeto fundamental de estudio en la teoría del potencial es un espacio funcional dotado de la estructura del espacio vectorial. Esta implicación resulta ser especialmente importante cuando se utiliza un enfoque funcional del tema. Con respecto a la simetría en el sentido más habitual del término, se puede partir del teorema según el cual las simetrías de una ecuación de Laplace N - dimensional son precisamente las simetrías conformes de un espacio euclidiano n - dimensional. Este hecho tiene muchas implicaciones: en primer lugar, se pueden considerar funciones armónicas que se transforman bajo representaciones irreducibles del grupo conforme o sus subgrupos (como el grupo de rotaciones o traducciones). Procediendo de esta manera, obtenemos sistemáticamente las soluciones de la ecuación de Laplace que salen de la separación de variables como soluciones armónicas esféricas y series de Fourier. Al tomar superposiciones lineales de estas soluciones particulares, se puede generar una gran clase de funciones armónicas que, considerando topologías apropiadas, constituyen un subconjunto denso en el espacio de todas las funciones armónicas.

Dado que el grupo de transformaciones conformales tiene una dimensión infinita en el caso bidimensional y una dimensión finita en más de dos dimensiones, se puede conjeturar que la teoría del potencial en dos dimensiones es bastante diferente de la de otras dimensiones. Esto es lo que sucede y, de hecho, si piensas que cada función armónica en dos dimensiones es la parte real de una función analítica compleja, entiendes cómo el objeto de la teoría del potencial en dos dimensiones es básicamente lo mismo que el análisis complejo. Por esta razón, cuando se habla de teoría potencial, la atención se centra en teoremas que son válidos en tres o más dimensiones. En este sentido, es un hecho sorprendente que muchos resultados y conceptos descubiertos o originalmente utilizados en el análisis complejo (como el lema de Schwarz, el teorema de Morera, el Teorema de Casorati - Weierstrass, la serie de Laurent y la clasificación de la singularidad como eliminable, poli y esencial) generalizan en resultados y conceptos relativos a funciones en cualquier dimensión. Teniendo en cuenta qué teoremas del análisis complejo son casos especiales de resultados de la teoría potencial en cualquier dimensión, uno puede tener la sensación exacta de lo que es específico del análisis complejo en dos dimensiones y lo que es en cambio simplemente la consecuencia en dos dimensiones de resultados más generales.

Un tema importante de la teoría es el estudio del comportamiento local de las funciones armónicas. Tal vez el resultado más fundamental en el comportamiento local es el teorema de regularidad para la ecuación de Laplace, que establece la analítica de todas las funciones armónicas. Hay resultados que describen la estructura local de las curvas de nivel de las funciones armónicas: está el teorema de bôcher, que caracteriza el comportamiento de singularidades aisladas de funciones armónicas positivas. Como ya se mencionó, las singularidades aisladas de las funciones armónicas se pueden clasificar como desechables, poli y esenciales.

Un enfoque es fructífero en el estudio de las funciones armónicas es la consideración de las desigualdades que se encuentran, uno de los más básicos, de la que se pueden derivar muchas otras desigualdades, es el principio del máximo, según el cual una función armónica puede tomar valores extremos fuertes (máximo o mínimo estrecho) solo en el borde. Otro resultado importante es el teorema de Liouville, según el cual las únicas funciones armónicas limitadas definidas sobre el entero R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} son funciones constantes. Además de estas desigualdades básicas, se tiene la desigualdad de Harnack, según la cual las funciones armónicas positivas, definidas en dominios limitados, son aproximadamente constantes. Una aplicación importante de estas desigualdades es probar la convergencia de una sucesión de familias de funciones armónicas o subarmónicas (véase el teorema de Harnack).

Dado que la ecuación de Laplace es lineal, la estructura algebraica del espacio vectorial se puede definir en el conjunto de funciones armónicas definidas en un dominio dado. Al definir una norma adecuada o incluso un producto interno adecuado, uno puede tener conjuntos de funciones armónicas que forman espacios de Hilbert o espacios de Banach. Procediendo de esta manera, obtienes espacios como el espacio de Hardy, el espacio de Bloch y el espacio de Bergman.

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