Teoría de Hamilton-Jacobi

En mecánica analítica, la teoría de Hamilton - Jacobi, cuyo nombre se debe a William Rowan Hamilton y Carl Jacobi, es una teoría que, aprovechando los resultados del cálculo variacional, se utiliza para determinar las constantes del movimiento de un sistema dinámico. En particular, esta teoría estudia la resolución de las ecuaciones de Hamilton, buscando una función generadora apropiada que determine una transformación canónica tal que, en las nuevas coordenadas, el hamiltoniano del sistema sea nulo.

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden que tiene la forma: la función: es el Hamiltoniano clásico del sistema, mientras que: se llama la función principal de Hamilton, que a menos que sea una constante arbitraria, es equivalente a la acción. Función q = ( q Me ) Me = 1 , … , y ¿Cómo puedo hacerlo?}} son las coordenadas generalizadas las que definen el espacio de las configuraciones del sistema, mientras que t {\displaystyle t} es el parámetro temporal. La función principal de Hamilton contiene 2 Y + 1 {\displaystyle 2N+1} constantes a determinar, de las cuales Y {\displaystyle N} obtenido complementando ∂ S / ∂ t Por ejemplo, en el caso de que se produzca un error.} y el resto denotado con α 1 , … , α y ¿Cómo puedo hacerlo?}} por lo tanto usted tiene que el cantidad: son constantes de movimiento Esta ecuación se deriva de la mecánica hamiltoniana mediante el tratamiento S ¿Cómo puedo hacerlo?}}} como la función generadora de una transformación canónica del hamiltoniano clásico: los momentos lineales conjugados se definen como: donde p = ( p Me ) Me = 1 , … , y ¿Cómo puedo hacerlo?}} .

Una transformación canónica definida a través de una función generadora Gram ( q , P , t ) ¿Qué puedes encontrar en Neodigit)} conduce a las siguientes relaciones: las ecuaciones de Hamilton expresadas por medio de variables canónicas P ¿Por qué?} } y Q ¿Qué puedes encontrar en Neodigit} } tienen la forma: se obtienen las ecuaciones de Hamilton-Jacobi elegir una función de generación Gram 2 ( q , P , t ) ¿Qué puedes encontrar en Neodigit)} que cancela la función K {\displaystyle K} Por lo tanto, las derivadas deben ser nulas y las ecuaciones de Hamilton tienen la forma: las coordenadas generalizadas introducidas y los momentos respectivos son constantes del movimiento. Imponiendo que la función generadora es la función principal de Hamilton agregada a una constante arbitraria: llegamos a las ecuaciones de Hamilton-Jacobi, ya que: de las cuales: y por lo tanto: de manera equivalente, la función principal de Hamilton se define de la siguiente manera: la solución de este Integral es posible conociendo la ecuación del movimiento del sistema. Sabiendo que S ¿Cómo puedo hacerlo?}}} es una función de ( q Me ( t 1 ) , t 1 ) , ( q Me ( t 2 ) , t 2 ) También puede usar esta función en la siguiente página:})} , y que por lo tanto su variación también es igual a: uno puede igualar término a término las dos expresiones entre dos momentos de tiempo t , t 0 Tengo un problema.}} , obteniendo las ecuaciones de Hamilton - Jacobi: Si desea calcular la integral considerando un cambio de coordenadas virtual δ q {\displaystyle \ delta p} para una variación virtual del tiempo δ t {\displaystyle \ delta t} , esto corresponde a una variación: según el principio variacional de Hamilton, dicha variación debe ser cero para que la acción sea estacionaria.

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