Tensor Métrico

En matemáticas, y más precisamente en Geometría Diferencial, un tensor métrico es un campo tensor que caracteriza la geometría de una variedad. Usando el Tensor métrico es posible definir las nociones de distancia, ángulo, longitud de una curva, una geodésica o una curvatura.

Un tensor métrico es un campo tensorial Gram {\displaystyle g} definido en una variedad diferenciable, tipo ( 0 , 2 ) {\displaystyle (0, 2)} , simétrico y no degenerado en cada punto. El Tensor define entonces en cada punto un producto escalar no degenerado entre los vectores del espacio tangente en el punto. Un tensor se denota en coordenadas como Gram Me j {\displaystyle g_{ij}} . Para cada punto x {\displaystyle x} de la variedad, fija un papel local, el Tensor en x {\displaystyle x} por lo tanto, está representado por una matriz simétrica Gram Me j ( x ) {\displaystyle g_{ij} (x)} con determinante distinto de cero. Al igual que todos los campos tensoriales, la matriz cambia de manera diferenciable, ya que varía según x {\displaystyle x} dentro del periódico. Dado que el determinante nunca se cancela, la firma de la matriz Gram Me j ( x ) {\displaystyle g_{ij} (x)} es lo mismo para cada x {\displaystyle x} si la variedad está conectada. Si la firma es de tipo ( y , 0 ) {\displaystyle (n, 0)} es decir, si el producto escalar se define en todas partes como positivo, el Tensor induce una métrica en la variedad, que luego se llama la variedad riemanniana. Si el tensor no se define como positivo, la variedad se llama pseudo-riemanniana. Las variedades riemannianas son las más estudiadas en Geometría Diferencial. Localmente, una variedad riemanniana es similar a un espacio euclidiano, aunque puede ser globalmente muy diferente. Por otro lado, el espacio-tiempo en la relatividad general se describe como una variedad pseudoriemanniana particular, con ( 1 , 3 ) {\displaystyle (1, 3)} . Tal variedad es localmente similar al espacio-tiempo de Minkowski.

Espacio euclidiano R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} está equipado con la métrica euclidiana, que puede ser descrita por un Tensor métrico Gram {\displaystyle g} . El espacio tangente de cada punto se identifica naturalmente con R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Con respecto a esta identificación, el Tensor Gram {\displaystyle g} es la matriz de identidad para cada punto en el espacio. Ambos X {\displaystyle X} una variedad diferenciable en R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . El Tensor métrico euclidiano induce un Tensor métrico en X {\displaystyle X} : es el mismo producto escalar, restringido en cada punto de X {\displaystyle X} al subespacio de los vectores tangentes a X {\displaystyle X} . Dado que el tensor euclidiano se define como positivo, también lo es el tensor inducido, y por lo tanto cada variedad inmersa en R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} tiene una estructura varietal riemanniana. Por ejemplo, el Tensor inducido en la esfera unitaria, escrito en coordenadas esféricas ( θ , ϕ ) {\displaystyle (\theta, \ phi)} , es dado por y se puede resumir en la forma Minkowski espacio-tiempo es espacio R 4 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{4}} equipado con Tensor que se puede resumir en la forma de la constante c {\displaystyle c} es la velocidad de la luz. El tensor se obtiene como la única solución de coordenadas que satisface la invariancia de la distancia entre dos puntos para todos los sistemas de referencia, es decir, el sistema con dos ecuaciones colocando: d s = d s ′ {\displaystyle ds = ds''} . El Tensor de Minkowski corresponde a un plano sin obstáculos ni curvaturas. Sus geodésicas son líneas rectas, pero el cambio de signo de tiempo introduce la peculiaridad de que ya no corresponden a la distancia más corta entre dos puntos, sino a la más larga.

A Tensor métrico Gram Me j {\displaystyle g_{ij}} se asocia un Tensor analógico de tipo ( 2 , 0 ) {\displaystyle (2.0)} denotado por la misma letra pero con los índices en la parte superior Gram Me j . {\displaystyle g^{ij}. } El tensor se define en coordenadas como la matriz inversa de Gram Me j {\displaystyle g_{ij}} (esta definición no depende de la elección de coordenadas; en algunos contextos también se realiza la transposición). Este tensor a veces se llama un Tensor métrico conjugado. La relación entre los dos tensores se puede escribir de la siguiente manera: escrito con notación de Einstein, donde el Tensor δ {\displaystyle \ delta } es el delta de Kronecker definido por un Tensor métrico, además de introducir conceptos geométricos como longitudes y ángulos, permite simplificar algunas notaciones y estructuras. A través del Tensor es posible identificar los espacios tangentes y cotangentes de una variedad. Más generalmente, el Tensor métrico se puede usar para "bajar" o "elevar" los índices a voluntad en un tensor, por ejemplo, convirtiendo vectores en codiciantes y viceversa. Esto se hace contratando apropiadamente con tensores Gram Me j {\displaystyle g_{ij}} y Gram Me j {\displaystyle g^{ij}} . Por ejemplo, un vector A μ {\displaystyle A^{\mu }} se transforma en un transportador alternativamente,.

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