Superálgebra

En matemáticas y física teórica una superalgebra es un álgebra Z de 2 grados. Es decir, es un álgebra en un anillo o campo conmutativo que se descompone en una pieza "par" y una "impar" , es decir, es un operador multiplicativo que respeta la separación en piezas "par" e "impar" . El prefijo super-proviene de la teoría de la supersimetría en Física Teórica. Las Superalgebras y sus representaciones, supermodulos, proporcionan un marco algebraico para la formulación de la supersimetría. El estudio de tales objetos a veces también se llama álgebra Super linear.

Sea K un anillo conmutativo fijo; en la mayoría de las aplicaciones K es un campo como R O C. Una superalgebra sobre K es un módulo K A con una descomposición en una suma directa : con una multiplicación bilineal A × A → a tal que: con índices que tienen módulo 2.

En Física Teórica, un álgebra de supersimetría (o álgebra de SUSY) es un álgebra de simetría que incorpora supersimetría, es decir, una relación entre bosones y fermiones. En un mundo supersimétrico, cada bosón tiene un fermión compañero de igual masa en reposo y cada fermión tiene un bosón compañero de igual masa en reposo. Los campos bosónicos cambian, mientras que los campos fermiónicos cambian; con el fin de relacionar los dos tipos de campos en un solo álgebra, se utiliza la introducción de un "álgebra graduada" según la cual se requiere que los elementos pares sean bosones y los elementos impares sean fermiones. Tal álgebra se llama superalgebra de lie. Por otro lado, el teorema espín - estadístico muestra que los bosones tienen espín entero, mientras que los fermiones tienen espín semi - entero. En consecuencia, los elementos impares en un álgebra de supersimetría deben tener espín semi-entero, lo que contrasta con las simetrías más tradicionales en la física clásica. En simetrías físicas que están asociadas con un álgebra de Lie uno puede construir sus representaciones, por lo que uno también puede tener representaciones de una superalgebra de lie. Cada álgebra de lie está ligada a un grupo de Lie de manera similar cada superalgebra de lie está ligada a un supergrupo de lie.

En Física Teórica, el álgebra de super - Poincaré es una extensión del álgebra de Poincaré que incluye supersimetría que incluye una relación entre bosones y fermiones. La extensión supersimétrica más simple del álgebra de Poincaré contiene dos espinores de Weyl que satisfacen la siguiente relación anti-conmutación: y todas las relaciones anti-conmutación entre Q α , {\displaystyle Q_ {\alpha }, } y el P μ {\displaystyle P_ {\mu }} apestan. Donde el P μ {\displaystyle P_ {\mu }} son los generadores de las traducciones, los σ μ {\displaystyle \ sigma ^{\mu }} son las matrices de Pauli y el Q α {\displaystyle Q_ {\alpha }} son las supercargas o son los generadores de una transformación supersimétrica.

En física de partículas, de hecho, en relación con una transformación supersimétrica, cada fermión tiene un superpartner bosónico y cada bosón tiene un superpartner fermiónico. Los pares han sido nombrados socios supersimétricos, y las nuevas partículas se llaman spartner, superpartner o sparticles. Más precisamente, el superpartner de una partícula con espín s {\displaystyle S} ha spin algunos ejemplos se muestran en la tabla. Ninguno de ellos ha sido detectado hasta ahora experimentalmente, pero se espera que el Gran Colisionador de Hadrones del CERN en Ginebra pueda realizar esta tarea a partir de 2010, después de ser puesto de nuevo en funcionamiento en noviembre de 2009. De hecho, por el momento solo hay evidencia indirecta de la existencia de supersimetría. Dado que las superpartenas de las partículas del Modelo Estándar aún no se han observado, la supersimetría, si existe, debe ser necesariamente una simetría rota, de modo que las superpartenas pueden ser más pesadas que las partículas correspondientes en el modelo estándar. La carga asociada (es decir, el generador) de una transformación de supersimetría se llama sobrealimentación. La teoría explica algunos problemas no resueltos que afligen al modelo estándar, pero desafortunadamente introduce otros. Fue desarrollado en la década de 1970 por el grupo de investigadores de Jonathan I. Segal en el MIT; simultáneamente Daniel Laufferty de la "Universidad de Tufts" y los físicos teóricos soviéticos Izrail'' Moiseevič Gel''fand y Likhtman teorizaron independientemente la supersimetría. Aunque nació en el contexto de las teorías de cuerdas, la estructura matemática de la supersimetría se ha aplicado posteriormente con éxito a otras áreas de la física, desde la mecánica cuántica hasta la estadística clásica y se considera una parte fundamental de muchas teorías físicas. En teoría de cuerdas, la supersimetría tiene la consecuencia de que los modos de vibración de las cuerdas que dan lugar a fermiones y bosones necesariamente ocurren en pares.

En física y matemáticas, el grupo de Poincaré es el grupo de isometrías del Espacio - Tiempo de Minkowski. Es un grupo de lie No compacto de 10 dimensiones. El grupo abeliano de Traducciones es un subgrupo normal, mientras que el grupo de Lorentz es un subgrupo, un estabilizador de un punto. Así, todo el grupo Poincaré es el producto semi-directo de las traducciones y transformaciones de Lorentz. También se puede decir que el grupo Poincaré es un grupo de Extensión del grupo Lorentz determinado por su representación vectorial. Sus representaciones de energía positiva unitaria se indican por masa (número no negativo) y espín (entero o medio), y en mecánica cuántica se asocian con partículas. Según el programa de Erlangen, la geometría del espacio de Minkowski está definida por el grupo de Poincaré: el espacio de Minkowski se considera para el grupo como un espacio homogéneo. El álgebra de Lie del grupo Poincaré satisface las siguientes ecuaciones: donde el vector P {\displaystyle P} es el generador de las traducciones, El Tensor M {\displaystyle M} es el generador de las transformaciones de Lorentz y el Tensor η {\displaystyle \ eta } es la métrica de Minkowski.

El concepto de "Superespacio" tenía dos significados en la física. La palabra fue utilizada por primera vez por John Archibald Wheeler para describir la configuración espacial de la relatividad general; tal uso se puede ver en su famoso libro de texto de 1973 titulado Gravitation. El segundo significado se refiere a las coordenadas espaciales relacionadas con una teoría de supersimetría. En tal formulación, junto con las dimensiones del espacio ordinario x, Y, z,. , (del espacio de Minkowski) también hay dimensiones "anti-conmutación" cuyas coordenadas están etiquetadas con números de Grassmann; es decir, junto con las dimensiones del espacio de Minkowski correspondientes a grados bosónicos de libertad, hay dimensiones anti-conmutación relativas a grados fermiónicos de libertad.

En cuatro dimensiones, el ejemplo más simple (es decir, con un valor mínimo de supersimetría N = 1) de superfield se puede escribir utilizando un Superespacio con cuatro dimensiones adicionales de coordenadas fermiónicas, θ 1 , θ 2 , θ ¯ 1 , θ ¯ 2 {\displaystyle \theta ^{1}, \theta ^{2}, {\bar {\theta }}^{1}, {\bar {\theta }}^{2}} , que se transforman como espinas y espinas conjugadas En Física Teórica, un supercampo es un tensor que depende de las coordenadas del Superespacio. En Física Teórica, las teorías supersimétricas a menudo se analizan con supercampamentos que desempeñan un papel muy importante. Los supercampamentos fueron introducidos por Abdus Salam y Ja Strathdee en su artículo de 1974 sobre "supergauge transformations" .

Supersimetría

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Supersimetría

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