Serie Wiener

En matemáticas, la serie de Wiener (o Wiener g - expresión funcional) se origina en el libro de Norbert Wiener de 1958. Es una expansión ortogonal para funcionales no lineales estrechamente relacionados con la serie de Volterra y que tiene la misma relación con la expansión polinómica de Hermite ortogonal a una serie de potencias. Por esta razón también se conoce como expansión Wiener - Hermite. El análogo de los coeficientes se conoce como el núcleo de Wiener. Los Términos de la serie son ortogonales (no relacionados) a una entrada estadística de ruido blanco. Esta propiedad permite identificar Términos en aplicaciones mediante el método Lee - Schetzen. La serie Wiener es importante en la identificación del sistema dinámico. En este contexto, la serie se aproxima a la relación funcional de la salida con todo el historial de entrada del sistema en cualquier momento. La serie Wiener se ha aplicado principalmente a la identificación de sistemas biológicos, particularmente en neurociencia. El nombre Wiener series se utiliza casi exclusivamente en teoría de sistemas. En la Literatura Matemática se muestra que la expansión itô (1951) tiene una forma diferente, pero es totalmente equivalente a la serie de Wiener. La serie Wiener no debe confundirse con el filtro Wiener, que es otro algoritmo desarrollado por Norbert Wiener utilizado en el procesamiento de señales.

Dado un sistema con un par de entrada / salida ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle (x (t), y (t))} donde la entrada es un ruido blanco con valor medio cero y potencia a, podemos escribir la salida del sistema como la suma de una serie de Wiener funcional G y ( y ) = ∑ p ( Gram p x ) ( y ) {\displaystyle Y (n) = \sum _{p} {(g_{p}x) (n)}} expresiones de G funcional hasta el quinto orden: ( Gram 0 x ) ( y ) = k 0 = Y { y ( y ) } ; {\displaystyle (G_{0} x) (n) = k_{0} = E \ left\{{y (n)}\right\}; } ( Gram 1 x ) ( y ) = ∑ τ 1 = 0 Y 1 − 1 k 1 ( τ 1 ) x ( y − τ 1 ) ; {\displaystyle (g_{1} x) (n) = \ sum _ {\tau _{1}=0}^{N_{1} - 1} {k_{1} (\tau _{1})x (n- \ tau _{1})}; } ( Gram 2 x ) ( y ) = ∑ τ 1 , τ 2 = 0 Y 2 − 1 k 2 ( τ 1 , τ 2 ) x ( y − τ 1 ) x ( y − τ 2 ) − A ∑ τ 1 = 0 Y 2 − 1 k 2 ( τ 1 , τ 1 ) ; {\displaystyle (G_{2}x)(n)=\sum _{\tau _{1}, \tau _{2}=0}^{N_{2} - 1}{k_{2}(\tau _{1}, \tau _{2})x(n - \tau _{1})x(n - \tau _{2})} - Un\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{2} - 1}{k_{2}(\tau _{1}, \tau _{1})}; } ( Gram 3 x ) ( y ) = ∑ τ 1 , … , τ 3 = 0 Y 3 − 1 k 3 ( τ 1 , τ 2 , τ 3 ) x ( y − τ 1 ) x ( y − τ 2 ) x ( y − τ 3 ) − 3 A ∑ τ 1 = 0 Y 3 − 1 ∑ τ 2 = 0 Y 3 − 1 k 3 ( τ 1 , τ 2 , τ 2 ) x ( y − τ 1 ) ; {\displaystyle (G_{3}x)(n)=\sum \límites de _{\tau _{1}, \ldots, \tau _{3}=0}^{N_{3} - 1}{k_{3}(\tau _{1}, \tau _{2}, \tau _{3})x(n - \tau _{1})x(n - \tau _{2})x(n - \tau _{3})} - 3A\sum _{\tau _{1}=0}^{N_{3} - 1}\sum _{\tau _{2}=0}^{N_{3} - 1}k_{3}(\tau _{1}, \tau _{2}, \tau _{2})x(n - \tau _{1}); } ( Gram 4 x ) ( y ) = ∑ τ 1 , … , τ 4 = 0 Y 4 − 1 k 4 ( τ 1 , τ 2 , τ 3 , τ 4 ) x ( y − τ 1 ) x ( y − τ 2 ) x ( y − τ 3 ) x ( y − τ 4 ) + {\displaystyle (G_{4}x)(n)=\sum \límites de _{\tau _{1}, \ldots, \tau _{4}=0}^{N_{4} - 1}k_{4}(\tau _{1}, \tau _{2}, \tau _{3}, \tau _{4})x(n - \tau _{1})x(n - \tau _{2})x(n - \tau _{3})x(n - \tau _{4})+} − 6 A ∑ τ 1 , τ 2 = 0 Y 4 − 1 ∑ τ 3 = 0 Y 4 − 1 k 4 ( τ 1 , τ 2 , τ 3 , τ 3 ) x ( y − τ 1 ) x ( y − τ 2 ) + 3 A 2 ∑ τ 1 , τ 2 = 0 Y 4 − 1 k 4 ( τ 1 , τ 1 , τ 2 , τ 2 ) ; {\displaystyle-6a \ sum \ limits _ {\tau _ {1}, \tau_{2} = 0}^{N_{4} - 1}\sum \límites de _{\tau _{3}=0}^{N_{4} - 1}{k_{4}(\tau _{1}, \tau _{2}, \tau _{3}, \tau _{3})x(n - \tau _{1})x(n - \tau _{2})}+3A^{2}\sum \límites de _{\tau _{1}, \tau _{2}=0}^{N_{4} - 1}{k_{4}(\tau _{1}, \tau _{1}, \tau _{2}, \tau _{2})}; } ( Gram 5 x ) ( y ) = ∑ τ 1 … τ 5 = 0 Y 5 − 1 k 5 ( τ 1 , τ 2 , τ 3 , τ 4 , τ 5 ) x ( y − τ 1 ) x ( y − τ 2 ) x ( y − τ 3 ) x ( y − τ 4 ) x ( y − τ 5 ) + {\displaystyle (G_{5}x)(n)=\sum \límites de _{\tau _{1}\ldots \tau _{5}=0}^{N_{5} - 1}k_{5}(\tau _{1}, \tau _{2}, \tau _{3}, \tau _{4}, \tau _{5})x(n - \tau _{1})x(n - \tau _{2})x(n - \tau _{3})x(n - \tau _{4})x(n - \tau _{5})+} − 10 A ∑ τ 1 , … τ 3 = 0 Y 5 − 1 ∑ τ 4 = 0 Y 5 − 1 k 5 ( τ 1 , τ 2 , τ 3 , τ 4 , τ 4 ) x ( y − τ 1 ) x ( y − τ 2 ) x ( y − τ 3 ) {\displaystyle-10a \ sum \ limits _ {\tau _ {1}, \ ldots \tau _ {3}=0}^{n_{5} - 1} \ sum \límites de _{\tau _{4}=0}^{N_{5} - 1}k_{5}(\tau _{1}, \tau _{2}, \tau _{3}, \tau _{4}, \tau _{4})x(n - \tau _{1})x(n - \tau _{2})x(n - \tau _{3})} + 15 A 2 ∑ τ 1 = 0 Y 5 − 1 ∑ τ 2 , τ 3 = 0 Y 5 − 1 k 5 ( τ 1 , τ 2 , τ 2 , τ 3 , τ 3 ) x ( y − τ 1 ) {\displaystyle +15A^{2}\sum \límites de _{\tau _{1}=0}^{N_{5} - 1}\sum \límites de _{\tau _{2}, \tau _{3}=0}^{N_{5} - 1}k_{5}(\tau _{1}, \tau _{2}, \tau _{2}, \tau _{3}, \tau _{3})x(n - \tau _{1}). } .

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