Secuencia de Sheffer

En matemáticas, una secuencia polinómica, es decir, una secuencia { p n (x): n = 0, 1, 2, 3, . } de polinomios en los que el índice de cada polinomio es igual a su grado, se dice secuencia polinómica de Sheffer, o en breve secuencia de Sheffer, si el operador lineal Q que actúa sobre polinomios en X definido por es shift - equivariant. Diciendo que Q Es shift-equivariant, queremos decir que si consideramos un número real cualquiera, y el operador de la traducción (shift) de funciones de variable real, G (x) T definido por T g (x):= g (x + a), entonces (QT A g)(x) = (Qg) (x + a), es decir, q conmuta con cada operador de traducción. Siguiendo a F. Hildebrandt, llamamos operador delta a cada operador lineal en polinomios que reduce su grado en 1 y es equivalente a cambio. El operador Q anterior se puede llamar la característica del operador delta de la secuencia de Sheffer. El conjunto de todas las secuencias de Sheffer constituye un grupo para la operación de composición de umbral de secuencia polinómica, definida de la siguiente manera. Consideremos dos secuencias polinómicas any { p n (x): n = 0, 1, 2, 3, . } E { q n (x): n = 0, 1, 2, 3, . }, con decimos composición umbral de p y q y escribimos p O q la secuencia polinómica cuyo n-ésimo término es dos subgrupos importantes del grupo de secuencia de Sheffer son el grupo de secuencia de Appell, que son las secuencias de Sheffer cuyo operador delta es el diferenciación y el grupo de secuencias de tipo binomial, que son secuencias polinómicas que satisfacen las identidades una secuencia de Sheffer { p n (x): n = 0, 1, 2, . } es de tipo binomial si y solo si iguales son válidos el grupo de secuencias de Appell es abeliano, el grupo de secuencias de tipo binomial no lo es. El grupo de secuencia de Appell es un subgrupo normal del grupo de secuencia de Sheffer, el grupo de secuencia de tipo binomial no es normal. El grupo de secuencia de Sheffer resulta ser un producto semi-directo del grupo de secuencia de Appell y el grupo de secuencia binomial. Se deduce que cada lateral (coset) del grupo de secuencias de Appell contiene exactamente una secuencia de tipo binomial. Dos secuencias de Sheffer están en el mismo lateral si y solo si poseen el mismo operador delta característico. Si s n (x) es una secuencia de Sheffer y p n (x) es una secuencia de tipo binomial que comparte el mismo operador Delta característico, entonces a veces uno define la secuencia de Sheffer como una secuencia polinómica que satisface estas igualdades para alguna secuencia de tipo binomial. Si en particular { s n (x) } es una secuencia de Appell, entonces la secuencia de polinomios de Hermite, la secuencia de polinomios de Bernoulli, y la secuencia { x n: n = 0, 1, 2,. } son ejemplos de secuencias de Appell.

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