Sallen-Filtro De Llaves
El filtro Sallen Key es un tipo de filtro activo, conocido y extendido debido a su simplicidad. El circuito proporciona una respuesta de filtro de paso bajo de 2 polos (- 40dB/década), filtro de paso alto o filtro de paso de banda a través de dos resistencias, dos condensadores y un rastreador de voltaje. Los filtros de orden superior se obtienen colocando varias etapas en una cascada. Esta topología de filtro se conoce a menudo en el mundo de habla inglesa como filtro de fuente de voltaje controlado por voltaje (vcvs). Fue introducido por R. P. Sallen y E. L. Key del laboratorio Lincoln del MIT en 1955. Aunque los filtros mostrados aquí tienen una ganancia de ancho de banda de 1 (o 0 dB), no todos los filtros Sallen - Key tienen ganancia de unidad. Se pueden conectar resistencias adicionales al amplificador operacional obteniendo un amplificador no inverso con ganancia mayor que 1. Los filtros Sallen - Key son poco sensibles a las tolerancias de los componentes, aunque se requieren valores extremos para tener un alto factor de mérito o una alta ganancia.
Típicamente, la frecuencia de corte y el factor Q siguen estas ecuaciones: C 1 {\displaystyle C_{1}} y C 2 {\displaystyle C_{2}} ser y {\displaystyle n} y la relación entre R 1 {\displaystyle R_{1}} y R 2 {\displaystyle R_{2}} ser m {\displaystyle m} , so: así, por ejemplo, el circuito se muestra tiene Fc = 15 Ejemplo de un filtro de paso bajo de ganancia de unidad: un amplificador operativo se utiliza como un amplificador separador, aunque un amplificador emisor común es adecuado. 9kHz y Q = 0. 5. Su función de transferencia es:.
Sus ecuaciones son: F c = 1 2 π R 1 R 2 C 1 C 2 {\displaystyle F_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}} (como antes), y Q = R 2 C x R 1 R 2 C 1 C 2 {\displaystyle Q={\frac {R_{2} C_{x}} {\sqrt {R_{1} R_{2} c_{1} c_{2}}}}} donde C x = C 1 C 2 C 1 + C 2 {\displaystyle C_{x}={\frac {c_{1} C_{2}} {c_{1} + c_{2}}}} Aquí hay un filtro con Fc = 72Hz y Q = 0. 5.
Un amplificador operativo se utiliza como un rastreador de voltaje. La frecuencia de pico es: el divisor de voltaje en el anillo de retroalimentación positiva controla la ganancia. La "ganancia interna" G es: mientras que la ganancia del amplificador en la frecuencia máxima está dada por: como se ve, la ganancia G debe permanecer inferior a 3 para evitar oscilaciones. el punto óptimo es R 2 = 2 R 1 {\displaystyle R_{2}=2r_{1}} y C 1 = C 2 {\displaystyle C_{1} = c_{2}} .
Al evaluar el voltaje en el nodo inversor del amplificador operativo, obtenemos: V − = V o u t R a R a + r b = 1 A v V o u t = k V o u t {\displaystyle V^ { - } = v_ {out} {\frac {Ra} {Ra + rb}}={\frac {1}{Av}} V_{out} = kv_{out}} (1) aplicar el LKC al nodo entre admisiones Y1 e Y2, momentáneamente referido como nodo a : ( V a − V Me ) Y 1 + ( V a − k V o ) Y 2 + ( V a − V o ) Y 3 = 0 ⟶ V a ( Y 1 + Y 2 + Y 3 ) = V Me Y 1 + k V o Y 2 + V o Y 3 {\displaystyle (V_{a} - v_{i})y_{1}+(v_{a} - kV_{o}) Y_{2}+(v_{a} - v_{O}) Y_{3} = 0\longrightarrow V_{a} (Y_{1} + Y_{2}+Y_{3}) = v_{I} Y_{1} + kV_{O}Y_{2} + v_{o}y_{3}} (2) considerando lo siguiente: k V o ( Y 2 + Y 4 ) = V a Y 2 ⟶ V a = k V o Y 2 + Y 4 Y 2 {\displaystyle kV_{o} (Y_{2}+Y_{4}) = v_{a}y_{2} \ longrightarrow V_{a} = kV_{o} {\frac {Y_{2}+Y_{4}} {Y_{2}}}} (3) substituting the definition of Va, obtained by eq (3) en la Ecuación (2), se obtiene como resultado de manipulaciones algebraicas: H ( s ) = V o u t V Me y = Y 1 Y 2 k ( Y 2 + Y 4 ) ( Y 1 + Y 2 + Y 3 ) − Y 2 ( Y 3 + K Y 2 ) {\displaystyle H (s) = {\frac {V_ {out}} {v_{in}}} = {\frac {Y_{1}Y_{2}}{k(Y_{2}+Y_{4})(Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}) - Y_{2}(Y_{3}+KY_{2})}}} (4) Esta fórmula es lo más general posible Considerando un filtro biquadrático genérico a la clave Sallen del tipo en figura, es posible derivar una fórmula genérica de la función de transferencia de filtro. De esta fórmula, de hecho, es posible derivar un filtro Sallen-Key de paso bajo, así como uno de paso alto, utilizando una selección adecuada de componentes. Refiriéndose a la EC. Al reemplazar los impuestos previstos en (5), en H (s), obtenemos: V o u t = Gram 1 Gram 2 k C 3 C 4 ( s 2 + s ( ( Gram 1 + Gram 2 ) C 3 + Gram 2 C 4 k − 1 k ) + Gram 1 Gram 2 C 3 C 4 ) V Me y {\displaystyle V_{salir}={\frac {G_{1}G_{2}}{kC_{3}C_{4}(s^{2}+s({\frac {(G_{1}+G_{2})}{C_{3}}}+{\frac {G_{2}}{C_{4}}}{\frac {k - 1}{k}})+{\frac {G_{1}G_{2}}{C_{3}C_{4}}})}}V_{en}} (6) recordando la forma canónica para los filtros biquad de paso bajo: V o = a 0 s 2 + ω 0 Q s + ω 0 2 V Me {\displaystyle Vo = {\frac {a_{0}} {s^{2} + {\frac {\omega _ {0}} {Q} s} + \ omega _{0}^{2}}}Vi} (7) se obtiene por comparación: ω 0 2 = Gram 1 Gram 2 C 3 C 4 = 1 R 1 R 2 C 3 C 4 {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {G_{1}G_{2}}{C_{3}C_{4}}}={\frac {1}{R_{1}R_{2}C_{3}C_{4}}}} (8) Q = ω 0 Gram 1 + Gram 2 C 3 + ( k − 1 ) k Gram 2 C 4 = ω 0 Gram 1 + Gram 2 C 3 + ( 1 − A v ) Gram 2 C 4 {\displaystyle Q={\frac {\omega _{0}}{{\frac {G_{1}+G_{2}}{C_{3}}}+{\frac {(k - 1)}{k}}{\frac {G_{2}}{C_{4}}}}}={\frac {\omega _{0}}{{\frac {G_{1}+G_{2}}{C_{3}}}+(1 - Av){\frac {G_{2}} {C_{4}}}}}} (9) ahora es posible proceder con el dimensionamiento utilizando dos metodologías posibles: para operar un dimensionamiento de componentes iguales, es necesario poner: R 1 = R 2 = R ; C 3 = C 4 = C {\displaystyle R_{1} = R_{2} = R; C_{3} = C_{4} = C} (10) considerando los impuestos reportados por el eq (10), obtendremos las dos ecuaciones del proyecto, de las cuales será posible obtener ω0 y Q (y por lo tanto en consecuencia Av): ω 0 == 1 R C {\displaystyle \ omega 0 = = {\frac {1} {RC}}} (11) Q = 1 R C 1 2 R C + 1 − A v R C = 1 3 − A v {\displaystyle Q={\frac {1}{RC}}{\frac {1}{{\frac {2}{RC}}+{\frac {1 - Av} {RC}}}}={\frac {1} {3-Av}}} (12) según lo informado por el eq (4), puede dimensionar un filtro Sallen - Key de paso bajo colocando: Y 1 = Gram 1 ; Y 2 = Gram 2 ; Y 3 = s C 3 ; Y 4 = s C 4 {\displaystyle Y_{1} = G_{1}; Y_{2} = G_{2}; y_{3} = sC_{3}; y_{4} = sC_{4}} (5) es decir, sustituyendo los derechos de emisión Y1 e Y2 por resistencias y los derechos de emisión Y3 e Y4 por condensadores. Para operar un dimensionamiento de ganancia de unity, es necesario poner (también en circuito, almacenando en búfer la retroalimentación): A v = 1 ⟶ k = 1 ; R 1 = R 2 = R ; {\displaystyle Av = 1 \ longrightarrow k = 1; R_{1} = R_{2} = R; } (13) puede reescribir las ecuaciones del proyecto (8) y (9) de la siguiente manera: ω 0 2 = 1 R 2 C 3 C 4 {\displaystyle \ omega _{0}^{2}={\frac {1} {R^{2} C_{3} c_{4}}}} (8 (12) la ganancia del amplificador no se puede proporcionar independientemente de Q. A) Q = ω 0 1 2 R C 3 {\displaystyle Q= \ omega _ {0} {\frac {1} {\frac {2}{RC_{3}}}}} (9. a) derivamos C3 de (9. a): C 3 = 2 Q ω 0 R {\displaystyle C_{3} = {\frac {2Q} {\omega _ {0} R}}} (14) y sustituimos esa expresión dentro de 8. una, que nos aisla C4: C 4 = 1 2 Q ω 0 R {\displaystyle C_{4} = {\frac {1} {2Q \ omega _ {0} R}}} (15) considerando la relación entre C3 y C4, obtenida por EC. (14) and (15) it is obtained that: C 3 = 4 Q 2 C 4 {\displaystyle C_{3} = 4Q^{2} C_{4}} (16) La (16) determina el valor de las capacidades a utilizar, una vez que el valor de las resistencias en juego y el valor Q Es fixed.it es importante tener en cuenta que la (16) soporta la incapacidad de una clave de Sallen para obtener valores q particularmente altos. La dependencia de Q cuadrado conduce capacidades a valores muy distantes entre sí, a menudo no alcanzables en la práctica. Por ejemplo, si Q = 10, C3 = 100c4. Refiriéndose a la EC. (4), puede dimensionar un filtro Sallen-Key de paso alto colocando: Y 1 = s C 1 ; Y 2 = s C 2 ; Y 3 = Gram 3 ; Y 4 = Gram 4 {\displaystyle Y_{1} = sC_{1}; y_{2} = sC_{2}; Y_{3} = G_{3}; Y_{4}=g_{4}} (17) es decir, sustituyendo los derechos de emisión Y1 e Y2 por condensadores y los derechos de emisión Y3 e Y4 por resistencias. (4) H ( s ) = V o V Me = Y 1 Y 2 k ( Y 2 + Y 4 ) ( Y 1 + Y 2 + Y 3 ) − Y 2 ( Y 3 + k Y 2 ) {\displaystyle H (s) = {\frac {Vo} {Vi}}={\frac {Y1Y2}{K (Y2 + y4) (Y1+Y2+Y3) - Y2 (Y3 + kY2)}}} (4) se obtiene por comparación con la forma canónica de un paso alto: ω 0 2 = 1 C 1 C 2 R 3 R 4 {\displaystyle \ omega _{0}^{2}={\frac {1} {C_{1} C_{2} R_{3} r_{4}}}} (18) Q = ω 0 1 Gram 4 ( C 1 + C 2 ) C 1 C 2 + ( 1 − A v ) Gram 3 C 1 {\displaystyle Q=\omega _{0}{\frac {1}{G_{4}{\frac {(C_{1}+C_{2})}{C_{1}C_{2}}}+(1 - Av){\frac {G_{3}}{C_{1}}}}}} (19) para operar un tamaño de componentes iguales, debe poner: C 1 = C 2 = C ; R 3 = R 4 = R {\displaystyle C_{1} = c_{2} = C; R_{3} = R_{4} = R} (20) de manera similar a lo que se espera para el paso bajo, las ecuaciones de diseño permanecen sin cambios, modificando exclusivamente la disposición de los elementos pasivos en un contexto de circuito: es posible obtener ω0 y Q (y por lo tanto de consecuencia Av): ω 0 = 1 R C {\displaystyle \ omega _ {0} = {\frac {1} {RC}}} (21) e Q = 1 3 − A v {\displaystyle Q = {\frac {1} {3-Av}}} (22) para operar un dimensionamiento de ganancia de unidad, es necesario poner (también en circuito, almacenando en búfer la retroalimentación): A v = 1 ⟶ k = 1 ; C 1 = C 2 = C ; {\displaystyle Av = 1 \ longrightarrow k = 1; C_{1} = C_{2} = C; } (23) puede reescribir las ecuaciones del proyecto (8) y (9) de la siguiente manera: ω 0 2 = 1 C 2 R 3 R 4 {\displaystyle \ omega _{0}^{2}={\frac {1} {C^{2} R_{3} r_{4}}}} (8 Siguiendo el mismo procedimiento previsto para el filtro de paso bajo, sustituyendo las imposiciones previstas por (17) en la EC. B) Q = ω 0 2 C R 4 {\displaystyle Q = {\frac {\omega _ {0}} {\frac {2} {CR_{4}}}}} (9. b) derivamos R4 de (9. b): R 4 = 2 Q ω 0 C {\displaystyle R_{4}={\frac {2Q} {\omega _ {0}C}}} (24) y reemplazamos esa expresión dentro de 8. B, aislando los E. E. U. U. R3: R 3 = 1 2 Q ω 0 C {\displaystyle R_{3}={\frac {1} {2Q \ omega _ {0}C}}} (25) considerando la relación entre R3 y R4, obtenida por EC. (24) y (25) Se obtiene que: R 4 = 4 Q 2 R 3 {\displaystyle R_{4} = 4Q^{2} R_{3}} (26) .
