Regla de Cramer

La regla de Cramer o método de Cramer es un teorema del álgebra lineal, llamado así por el matemático Gabriel Cramer, útil para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando el determinante, en el caso de que el sistema tenga exactamente una solución. Como un algoritmo de cálculo es ineficiente. Por lo tanto, en realidad solo se puede utilizar para resolver sistemas de unas pocas ecuaciones. Sin embargo, es de gran importancia teórica ya que da una expresión explícita a la solución del sistema.

Un sistema de ecuaciones lineales puede ser representado usando la multiplicación entre matrices tales como: donde A {\displaystyle A} es una matriz y x {\displaystyle x} , c {\displaystyle c} son dos portadores. En este caso, la regla de Cramer proporciona un algoritmo para calcular la solución ( x 1 , … , x y ) {\displaystyle (x_{1}, \ ldots, x_{n})} usando el determinante de la siguiente manera: donde A Me {\displaystyle A_{i}} es la matriz formada por la sustitución de la Me {\displaystyle i} - columna de A {\displaystyle A} con vector c {\displaystyle c} Si A {\displaystyle A} es una matriz cuadrada (es decir, el número de incógnitas del sistema es igual al número de ecuaciones), y también es invertible (determinante diferente de cero, es decir, el rango de la matriz es igual al número de incógnitas), el teorema de Rouché - Cabello afirma que el sistema tiene exactamente una solución. The demonstration takes into account two properties of determinants: given a system of y {\displaystyle n} ecuaciones lineales en y {\displaystyle n} variable x 1 , x 2 , … , x y {\displaystyle x_{1}, x_{2}, \ ldots, x_{n}} : Regla de Cramer proporciona, por el valor de x 1 {\displaystyle x_{1}} , la expresión: que puede ser verificado usando las propiedades anteriores del determinante Se observa que la condición de invertibilidad de A {\displaystyle A} asegura que el denominador det ( A ) {\displaystyle \ det (A)} ser distinto de cero, y por lo tanto que la expresión descrita siempre tiene sentido. y en y {\displaystyle n} - columna sima multiplicada por x y {\displaystyle x_ {n}} , obtenemos la expresión: y, de acuerdo con la segunda propiedad del determinante, esto es igual a: del mismo modo, si la columna de b {\displaystyle B} se encuentra en el lugar de k {\displaystyle k} - sima columna de la matriz del sistema de ecuaciones, el resultado será igual a x k {\displaystyle x_ {K}} De hecho, según el sistema, el cociente reportado es equivalente a: restando de la primera columna la segunda multiplicada por x 2 {\displaystyle x_{2}} la tercera columna multiplicada por x 3 {\displaystyle x_{3}} por lo tanto se obtiene: .

Considere el caso de dos ecuaciones en dos incógnitas: que puede ver cómo una ecuación entre vectores: el área del paralelogramo determinada por: Está dada por el determinante del sistema: en general, cuando hay más ecuaciones que variables, el determinante de y {\displaystyle n} vectores de longitud y {\displaystyle n} proporciona el volumen del paralelepípedo que forman en el espacio euclidiano de Tamaño y {\displaystyle n} La regla de Cramer se puede mostrar usando su interpretación geométrica. Por lo tanto, el área del paralelogramo determinada por: también debe ser x 1 {\displaystyle x_{1}} veces el área de la primera, ya que uno de los lados se multiplicó por ese factor. Este último paralelogramo tiene, para el principio de Knights, la misma área que el paralelogramo formado por: igualando las áreas del último y segundo paralelogramo obtenemos la ecuación: de la cual sigue la regla de Cramer.

En este caso, la solución ( x , y ) {\displaystyle (x, y)} del mismo modo, un sistema con 3 ecuaciones y 3 incógnitas: se puede escribir como un producto entre matrices y vectores de la siguiente manera: si la matriz 3 × 3 {\displaystyle 3 \ times 3} tiene determinante distinto de cero, el sistema tiene una sola solución ( x , y , z ) {\displaystyle (x, Y, z)} fecha de: la el determinante de una matriz 3 por 3 se puede calcular usando la regla de Sarrus Un sistema con 2 ecuaciones y 2 incógnitas: expresado en forma de matriz como: tiene una sola solución si y solo si el determinante de: es distinto de cero.

Primero calcular las primeras derivadas de F {\displaystyle F} , Gram {\displaystyle G} , x {\displaystyle x} y y {\displaystyle y} : Reemplazar d x {\displaystyle dx} , d y {\displaystyle dy} en d F {\displaystyle dF} y en d Gram {\displaystyle dG} tiene: desde u {\displaystyle u} , v {\displaystyle v} son ambos independientes, los coeficientes de d u {\displaystyle de} , d v {\displaystyle dv} debe ser cero La regla de Cramer es extremadamente útil para escribir fórmulas en Geometría Diferencial. Por ejemplo, dar dos ecuaciones: en cuatro variables, Dos de las cuales dependen de las otras de la siguiente manera: es posible calcular (suponiendo que todas estas funciones son suficientemente derivables): usando la regla de Cramer, de la siguiente manera. Así que puedes escribir las ecuaciones para los coeficientes: ahora, de la regla de Cramer, ves que: esto es ahora una fórmula en términos de dos Jacobianos: fórmulas similares se pueden derivar para ∂ x / ∂ v {\displaystyle \ partial x / \ partial v} , ∂ y / ∂ u {\displaystyle \ partial y / \ partial u} y ∂ y / ∂ v {\displaystyle \ partial y / \ partial v} .

Como se mencionó en la introducción, el método de Cramer es adecuado para calcular la solución de sistemas lineales Y × Y {\displaystyle N \ times N} sólo si Y {\displaystyle N} es muy pequeño. En la práctica, el método requiere el cálculo de Y + 1 {\displaystyle N+1} determinantes de matrices Y × Y {\displaystyle N \ times N} . Aplicando la regla de Leibnitz, cada uno de ellos requiere Y ! {\displaystyle n! } multiplicaciones, para un total de ( Y + 1 ) ! {\displaystyle (N+1)! } multiplicar. Un número que rápidamente se vuelve enorme a medida que creces Y {\displaystyle N} . Si descuidas el tiempo que se tarda en hacer las adiciones, una calculadora que realiza un millón de multiplicaciones por segundo tardaría unos ocho meses en resolver un sistema lineal de 15 ecuaciones, tiempo que excedería un millón y medio de años si las ecuaciones fueran 20. Alternativamente, el Y + 1 {\displaystyle N+1} los determinantes se pueden calcular usando el algoritmo de Gauss que es extremadamente más rápido, O ( Y 3 ) {\displaystyle O (n^{3})} multiplicar. Sin embargo, este es un subproducto del método de eliminación de Gauss para la solución de un sistema lineal asociado con la misma matriz. Por lo tanto, es mucho más rápido resolver el sistema lineal inicial directamente usando el método de Gauss solo una vez.

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