Polinomios de Laguerre

En matemáticas, los polinomios de Laguerre, son polinomios especiales que constituyen una sucesión de polinomios, que tienen numerosas aplicaciones; su nombre recuerda al matemático francés Edmond Nicolas Laguerre (1834 - 1886). Se pueden definir con una expresión allá Rodrigues son polinomios mutuamente ortogonales con respecto al producto interno expresado por la sucesión de polinomios de Laguerre es una secuencia de Sheffer.

Los primeros polinomios son:

Estos polinomios se pueden expresar por medio de una integral de límite N-dependiente relativa a un contorno que hace un giro en sentido antihorario alrededor del origen.

La igualdad anterior expresando ortogonalidad es equivalente a afirmar que si X es una variable aleatoria con distribución exponencial, entonces la distribución exponencial no es la única distribución gamma. Los polinomios simples de Laguerre constituyen el caso especial de los polinomios generalizados relativos a α = 0 {\displaystyle \ alpha = 0} los polinomios de Laguerre asociados constituyen una sucesión ortogonal en el intervalo [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0, \ infty)} en relación con la función de peso x α y − x {\displaystyle x^{\alpha} e^ {- x}} : Para valores enteros de α {\displaystyle \ alpha } la expresión de definición anterior se puede escribir Una sucesión polinómica ortogonal con respecto a la distribución gamma cuya densidad de probabilidad es (Ver función gamma) se deriva de la definición de polinomios generalizados de Laguerre : estos polinomios a veces se llaman polinomios asociados de Laguerre.

Los polinomios generalizados de Laguerre aparecen en el tratamiento del oscilador armónico cuántico, debido a su relación con polinomios de Hermite que pueden ser expresados por igualdades y donde H y ( x ) {\displaystyle H_{n} (x)} denota el polinomio de Hermite de grado n.

Los polinomios de Laguerre generalizados se pueden definir como un caso especial de función hipergeométrica confluente, como donde ( a ) y {\displaystyle (A) _ {n}} denota el símbolo de Pochhammer.

Polinomios ortogonales

Polinomios especiales

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Combinatoria

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