Polinomios de Jacobi

En matemáticas los polinomios de Jacobi constituyen una secuencia polinómica de dos parámetros y más precisamente constituyen una sucesión de polinomios ortogonales de dos parámetros. Su nombre recuerda al matemático alemán Carl Jacobi (1804-1851).

Se pueden definir de muchas maneras como equivalentes. Por medio de una serie hipergeométrica que en realidad se reduce a un polinomio: donde y _ {\displaystyle {\underline {n}}} denota el factorial creciente y donde λ := α + β + 1 {\displaystyle \lambda: = \ alpha + \ beta + 1} . Por la variante de la anterior: por una fórmula de Rodríguez: por la expresión polinómica explícita como soluciones polinómicas de la ecuación diferencial de Jacobi. Para α , β & gt; − 1 {\displaystyle \ alpha, \ beta > - 1} se pueden definir como los componentes de la sucesión de polinomios ortogonales en el rango {\displaystyle } en relación con la función de peso ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β {\displaystyle (1 - x)^{\alpha } (1 + x)^{\beta }} . La correspondiente relación de ortogonalidad es .

Estas son variantes bastante modestas pero muy utilizadas de las anteriores; se definen como, por supuesto, también estas constituyen una sucesión de polinomios ortogonales y la relación de ortogonalidad es:

Para α = β = 0 {\displaystyle \ alpha = \ beta = 0} se reducen a polinomios de Legendre. Para α = β {\displaystyle \ alpha = \ beta } se reducen a los polinomios de gegenbauer: para α = β = − 1 / 2 {\displaystyle \ alpha = \ beta = - 1/2} se reducen a polinomios de Chebyshev del primer género:

Los primeros polinomios de la sucesión gradual:

Funciones hipergeométricas especiales

Polinomios especiales

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