Polinomios de Hermite

En matemáticas y física, los polinomios de Hermite son una secuencia polinómica utilizada en probabilidad, específicamente en la serie de Edgeworth, en combinatoria y en mecánica cuántica, en particular en el cálculo de autostatos de osciladores armónicos cuánticos.

Para cada número natural y {\displaystyle n} Se definen polinomios de Hermite. Hay dos polinomios Hermite diferentes: el "polinomio Hermite probabilístico" y el "polinomio Hermite físico" las dos definiciones no son equivalentes, pero de uno podemos derivar el otro los polinomios Hermite se llaman así en honor del matemático francés Charles Hermite. También teniendo en cuenta que usted tiene una función de producto de una función par para un obtenido mediante la aplicación y {\displaystyle n} a veces un operador que cambia la paridad a otra función, igual a, es que cada polinomio tiene la paridad del grado: La definición anterior se prefiere en el contexto del cálculo de probabilidad, ya que está vinculada de la forma más simple función, es decir, la función de densidad de probabilidad para un distribución normal con valor esperado 0 {\displaystyle 0} y desviación estándar 1 {\displaystyle 1} De las reglas de derivación se ve que para cada y {\displaystyle n} uno tiene un polinomio de grado y {\displaystyle n} . En física se prefiere utilizar la siguiente definición que proporciona distribuciones con diferentes varianzas (v. o.): son más prácticas, en particular, para el estudio de las funciones de onda del oscilador armónico cuántico. Se encuentra que los primeros polinomios Hermitas (probabilísticos) son: los primeros polinomios Hermitas (físicos) son:.

Los polinomios de Hermite constituyen una sucesión de polinomios ortogonales en toda la línea real con respecto a la función de peso, es decir, tenemos esto igual para decir que son ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal. Forma una base ortogonal del espacio de Hilbert de funciones de valor complejo f ( x ) {\displaystyle F (x)} un cuadrado sumable en toda la línea real, funciones que satisfacen el para este espacio el producto interno de dos sus vectores f {\displaystyle F} y Gram {\displaystyle g} está dada por la integral que comprende una función Gaussiana .

El polinomio de Hermite (físico) y {\displaystyle n} - TH satisface la ecuación diferencial de Hermite: mientras que el polinomio de Hermite (probabilístico) y {\displaystyle n} - TH satisface la ecuación diferencial de Hermite: la secuencia de polinomios de Hermite (probabilística) también satisface la regla de recurrencia los polinomios de Hermite constituyen una secuencia de Appell, es decir, son una secuencia identidad polinómica satisfactoria (polinomios " probabilísticos ") o de forma equivalente, la equivalencia de las dos últimas identidades no es obvia, pero la prueba es un ejercicio de rutina Para la definición en la física la identidad satisfecha es los polinomios siguientes de Hermite, por otra parte, satisfacen la identidad donde D {\displaystyle D} representa el operador de diferenciación con respecto a x {\displaystyle x} , y el operador exponencial se define con el desarrollo en serie de las potencias del operador D {\displaystyle D} . Observamos que no hay preguntas de convergencia delicadas para estas series cuando se opera en polinomios, ya que solo un número finito de potencias del operador de derivación no se reduce al operador nulo. La existencia de una serie formal de poderes Gram ( D ) {\displaystyle g (D)} con coeficientes constantes distintos de cero, de modo que se puede escribir H y ( x ) = Gram ( D ) x y {\displaystyle H_{n} (x) = g (D)x^{n}} , es equivalente a la afirmación de que estos polinomios forman una secuencia de Appell. Dado que constituyen una secuencia de Appell, a fortiori forman una secuencia de Sheffer. Si X {\displaystyle X} es una variable aleatoria relativa a la distribución normal con desviación estándar 1 {\displaystyle 1} y valor esperado μ {\displaystyle \ mu } y Y {\displaystyle E} denota el valor esperado, entonces .

Mientras que los polinomios de Hermite definidos anteriormente son ortogonales a la distribución de probabilidad normal estándar que tiene valor esperado 0 {\displaystyle 0} y varianza 1 {\displaystyle 1} , puede ser útil utilizar polinomios de Hermite relativos a una varianza dada por cualquier Real positivo α {\displaystyle \ alpha } . Estos son polinomios ortogonales con respecto a la distribución normal de probabilidades que son expresables como .

Si introduce los coeficientes de las potencias de la variable con la ecuación la sucesión polinómica cuya y {\displaystyle n} - th término es es la composición Umbral de las dos sucesiones polinómicas; se puede demostrar que satisface las identidades y la última identidad se puede expresar diciendo que esta familia parametrizada de sucesiones polinómicas es una secuencia cruzada.

Dado que las secuencias de polinomios forman un grupo para la operación de la composición del umbral, se puede definir con: la secuencia que resulta en el grupo inverso de la denotada de manera similar pero sin el signo menos; esto permite hablar de polinomios de Hermite con varianza negativa. Para α & gt; 0 {\displaystyle \ alpha & gt; 0} , los coeficientes de H y ( x ) {\displaystyle H_ {n}^ {} (x)} son exactamente los valores absolutos de los coeficientes correspondientes de H y ( x ) {\displaystyle H_ {n}^ {} (x)} . Estos constituyen los momentos de las distribuciones de probabilidad normales: el momento y {\displaystyle n} - th de la distribución normal con valor esperado μ {\displaystyle \ mu } y varianza σ 2 {\displaystyle \ sigma ^{2}} es donde X {\displaystyle X} es una variable aleatoria con la distribución normal especificada. Así que como un caso especial de identidad de secuencia cruzada obtenemos eso .

Las funciones pueden considerarse autofunciones de la Transformada de Fourier, con valores propios − Me y {\displaystyle-i^{n}} .

En el polinomio de Hermite H y ( x ) {\displaystyle H_{n} (x)} de diferencia 1 {\displaystyle 1} el valor absoluto del coeficiente de x k {\displaystyle x^{k}} es el número de particiones (desordenadas) de un conjunto de y {\displaystyle n} elementos en k {\displaystyle k} singles y ( y − k ) / 2 {\displaystyle (N - k)/2} pares desordenados

Los polinomios de Hermite también se encuentran en la teoría de series de Edgeworth.

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