Polinomio de Legendre

En Matemáticas, las funciones de Legendre son las soluciones de la ecuación de Legendre, una ecuación diferencial ordinaria que se encuentra a menudo en la física y en varios campos tecnológicos: por ejemplo, en la solución en coordenadas esféricas de la ecuación de Laplace y Ecuaciones Diferenciales Parciales. Estas funciones llevan el nombre de Adrien-Marie Legendre, y a menudo intervienen en la solución de la ecuación de Schrödinger.

La ecuación de Legendre se puede resolver mediante métodos estándar de series de potencias. Las soluciones se dan por series convergentes para / x / & lt; 1. Las soluciones convergentes también están disponibles para x = ± 1 siempre y cuando n sea un entero natural, n = 0, 1, 2,. : en este caso las soluciones a la variación de n forman una sucesión polinómica llamada sucesión de polinomios de Legendre. El polinomio de Legendre P n (x) tiene GRADO n y se puede expresar mediante la fórmula de Rodríguez: Los polinomios de Legendre son polinomios ortogonales en el rango-1 ≤ x ≤ 1 con respecto al producto interno l 2: aquí δ m y {\displaystyle \ delta _ {mn}~} denota el delta de Kronecker, igual a 1 Si m = n e igual a 0 si no. Una construcción alternativa de polinomios de Legendre es realizar el procedimiento de Gram-Schmidt para la ortogonalización de la sucesión polinómica {1, x, x 2, . } y luego multiplicar los nuevos polinomios obtenidos por ( 2 y ) ! 2 y ( y ! ) 2 {\displaystyle (2N)! \over {2^{n} (n!)^{2}}} con y = 0 , 1 , … {\displaystyle n = 0, 1, \ ldots } lo que indica otro polinomio de Legendre. Estos son los primeros polinomios de Legendre:.

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