Plaza mágica

Un cuadrado mágico es una disposición de los enteros en forma de cuadrícula cuadrada en la que están bajo dos condiciones: los valores son todos distintos entre sí y la suma de los números en cada fila, cada columna y ambas diagonales, para dar siempre el mismo resultado; este entero se llama la "constante del cuadrado mágico (o" constante mágica ", o" suma mágica ") . En matemáticas, tal tabla se llama matriz cuadrada. De manera similar a este último, el número de filas (o columnas) se llama el "orden" del cuadrado mágico. Si multiplicas la constante mágica por el orden, obtienes la suma de todos los enteros del cuadrado. Para llenar un cuadrado de pedido y {\displaystyle n} servir y 2 {\displaystyle n^{2}} enteros distintos. En el caso de que este último coincida con enteros de 1 a y 2 {\displaystyle n^{2}} , entonces el cuadrado se llama " perfecto ", o" normal " . En este tipo particular de cuadrados, la constante mágica, multiplicada por el número de filas (o columnas), debe dar la suma de los enteros de 1 a y 2 {\displaystyle n^{2}} . Se deduce que, en el caso de cuadrados mágicos perfectos, está dada por la fórmula: los valores de M ( y ) {\displaystyle M (n)} forman una sucesión cuyos primeros 15 componentes son: 1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695 (sequence A006003 of the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

Los cuadrados mágicos ya eran conocidos en China en los primeros siglos DC, y tal vez incluso en el siglo IV aC el cuadrado 3 × 3 fue llamado El Shu; en el siglo X los chinos conocían cuadrados hasta el orden 10, así como cadenas de círculos y Cubos mágicos no perfectos. En el Occidente Latino aparecieron plazas mágicas a más tardar en el siglo XIII. Se encuentra en un manuscrito en español, ahora conservado en la Biblioteca Vaticana (cod. Reg. Lat. 1283a) atribuida a la iniciativa de Alfonso X de Castilla. Ya en este texto los cuadrados están dedicados a los planetas. Luego reaparecen en Florencia en el siglo XIV, en un manuscrito de Paolo dell''abbaco, es decir Paolo Dagomari, matemático, astrónomo y astrólogo, que estaba entre otras cosas en estrecho contacto con Jacopo Alighieri, uno de los hijos de Dante Alighieri. Los Folios 20 y 21 del manuscrito 2433, conservados en la Biblioteca Universitaria de Bolonia, contienen un cuadrado mágico de 6x6 y un 9x9, atribuidos respectivamente al sol y a la Luna. Los mismos cuadrados también aparecen en el manuscrito Plimpton 167 (folio 69 recto e verso), una copia del Tratado del siglo XV de los abades que se conserva en la biblioteca de la Universidad de Columbia en Nueva York. Es interesante notar que el Dagomari cita los dos cuadrados como un apoyo útil a cualquier problema matemático y, por cierto, a ningún cálculo astrológico mejor especificado. El mismo espíritu anima a Luca Pacioli, que expresa un punto de vista muy similar en la presentación de los cuadrados mágicos que hace en su de Viribus Quantitatis. Tenga en cuenta que el trabajo del comentarista y gramático del bizantino Manuel Moscópulo (alrededor de 1265-1316), que escribió un tratado sobre cuadrados mágicos a partir de textos del área cultural de los musulmanes, no parecía ser conocido en Europa hasta su descubrimiento en la Biblioteca Nacional de París, es el trabajo del matemático Philippe De La Hire, que lo publicó en 1705. Los cuadrados mágicos de orden 3 hasta 9, descritos como instrumentos para atraer las influencias de los planetas con fines, precisamente, de magia, se encuentran en numerosos manuscritos del siglo XV. Entre los más conocidos, el Liber De Angelis, un texto de magia "angelical" encontrado en un manuscrito (Cambridge University Library, Ms Dd. XI. 45) ejecutado alrededor de 1440 y que toma, con alguna variación, el texto de septem quadraturis planetarum seu quadrati magici, un manual de magia a través de imágenes planetarias, contenido en el Códice 793 de la biblioteca Jagellónica (Ms BJ 793). Los cuadrados con órdenes entre 3 y 9 se suponía que eran las imágenes adecuadas de los planetas - así como de sus ángeles guardianes - y como tales dotados de virtudes Mágicas Especiales. Por lo tanto, podrían ser utilizados para construir talismanes: por ejemplo, sus grabados en planchas de oro o plata fueron utilizados como remedios, desde la peste hasta el dolor del amor. Uno de los cuadrados mágicos más conocidos es sin duda el que aparece en el grabado de Alberto Durero titulado Melencolia I. Con el advenimiento de la imprenta, los cuadrados mágicos y sus usos pasaron del anonimato: responsable, tampoco lo fue Cornelio Agripa (1486-1535), quien por primera vez los describió con gran detalle en el Libro II de su filosofía oculta, a la que llamó "tablas sagradas de los planetas, y dotada de grandes virtudes, porque representan la razón divina, o la forma de números con celestiales" . El siglo de la ilustración relegó progresivamente los cuadrados mágicos al papel de objetos matemáticos, y finalmente la curiosidad. Bernard Frénicle de Bessy (1605 - 1665), matemático francés amigo de Descartes y Pierre de Fermat, calculó en 1663 el número de cuadrados mágicos perfectos de cuarto orden: 880, con suma constante de 34, en filas, columnas y diagonales. Solo gracias a la computadora fue posible extender el resultado, en 1973, a órdenes superiores: los cuadrados mágicos del orden 5 son al menos 275. 305. 224 (límite inferior calculado por Richard Schroeppel). El número exacto de cuadrados mágicos de orden 6 no se conoce, aunque muchos están comprometidos en su determinación. Según algunas encuestas, su número es del orden de 1. 7754 × 10 19. Sin embargo, el problema más general de encontrar la regla que permite determinar el número de cuadrados mágicos de orden n. pariente cercano del cuadrado es el cubo mágico, construido en Europa por primera vez solo en 1866. El primer cubo perfecto, de orden 7 y por lo tanto conteniendo los primeros 7 3 = 343 enteros positivos fue obtenido por un misionero apasionado por las matemáticas. Más tarde la búsqueda se extendió a Hipercubos de tamaño m y orden n, cada uno compuesto de y m {\displaystyle n^{m}} entero.

Entre estos, el más famoso es quizás el cuadrado 3×3, cuya magia constante es 15 : {\displaystyle {\begin{bmatrix}8&Amp; 1& 6\\3& 5& 7\\4& 9& 2\\\end{bmatrix}}} la magia constante de tal cuadrado se puede calcular con esta fórmula: M 2 ( y ) = y ( y 2 + 1 ) 2 {\displaystyle M_{2}(n) = {\frac {n (n^{2}+1)}{2}}} los cuadrados mágicos de tipo 1 a n 2 puede ser construido para todos los valores posibles de n Excepto 2 El tipo más común es el cuadrado mágico perfecto, es decir, el que usa los números del 1 al n 2. No todos los cuadrados mágicos de tipo 1 A n 2 se construyen de la misma manera. Con este fin, se dividen en tres clasificaciones diferentes: el método de construcción de un cuadrado mágico con n impar es bastante simple y se explica a continuación. Empiezas poniendo 1 en la columna central de la fila superior. {\displaystyle {\begin {bmatrix}? &? & amp; 1 & amp;? &? \\? &? &? &? &? \\? &? &? &? &? \\? &? &? &? &? \\? &? &? &? &? \\\end {bmatrix}}} rellene la siguiente columna del número uno (derecha) y una fila más alta. Si ya está en la fila superior, complete una columna a la derecha en la fila inferior. {\displaystyle {\begin {bmatrix}? &? & amp; 1 & amp;? &? \\? &? &? &? &? \\? &? &? &? &? \\? &? &? &? & amp; 3\\? &? &? & amp; 2 & amp;? \\\end{bmatrix}}} si se encuentra en la columna de la extrema derecha, rellene el siguiente número en la columna de la extrema izquierda, una fila hacia arriba. {\displaystyle {\begin {bmatrix}? &? & amp; 1& 8 & amp;? \\? & amp; 5& 7 & amp;? &? \\4 & amp; 6 & amp;? &? &? \\? &? &? &? & amp; 3\\? &? &? & 2 & amp; 9\\\end{bmatrix}}} si el cuadrado ya está ocupado por un número más pequeño, coloque el siguiente número en el cuadrado inmediatamente debajo del último introducido; proceda de esta manera hasta componer el cuadrado completo. {\displaystyle {\begin{bmatrix}17& 24& 1& 8& 15\\23& 5& 7& 14& 16\\4& 6& 13& 20& 22\\10& 12& 19& 21& 3\\11& 18& 25& 2& 9\\\end{bmatrix}}} Finalmente, se muestra que cada fila, columna y diagonal dar como la suma algebraica de la misma serie, en este caso, de 65 años. Por supuesto, los cuadrados mágicos se pueden construir usando un subconjunto de números que van desde 1 hasta n 2. Por ejemplo, un cuadrado mágico se puede construir usando solo números primos (en algunos casos puede ser necesario aceptar 1 como el número primo para tener un cuadrado mágico). En este ejemplo, la constante mágica es 111: {\displaystyle {\begin{bmatrix}31& 73& 7\\13& 37& 61\\67& 1& 43\\\end{bmatrix}}} .

Cuadrados mágicos

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