Paradoja del ascensor

En matemáticas, la paradoja del ascensor es un fenómeno estudiado por primera vez en 1958 por el físico George Gamow y el matemático Marvin Stern, que tenían sus estudios en dos pisos diferentes del mismo edificio. Gamow, que tenía su estudio en los pisos inferiores del edificio, notó que cuando llamaba al ascensor, esto generalmente venía de los pisos superiores, mientras que Stern, cuya oficina estaba en los pisos superiores, notó que, por el contrario, el ascensor que llamaba casi siempre venía de abajo. Al combinar estas observaciones, se creó la impresión divertida de que los ascensores se construyeron en un piso intermedio del edificio y se enviaron arriba y abajo y luego se desmantelaron: esto llevó a los dos a publicar su análisis y justificación Matemática del problema. Curiosamente, a pesar de la aparente simplicidad del problema, Donald Knuth en 1969 reveló que el análisis realizado por Gamow y Stern estaba equivocado. Fue Martin Gardner, en 1986, quien mencionó la presencia de varios ascensores.

Supongamos que vives en el penúltimo piso de un edificio de siete pisos; llamando desde allí al ascensor, llegará más a menudo (aproximadamente 5/6 de las veces) desde abajo que desde arriba. Este fenómeno se explica fácilmente: el ascensor es utilizado por igual por los inquilinos de varias plantas, y por lo tanto pasa más tiempo en los primeros 5 pisos que en el último. En un hotel grande, siempre de 7 plantas pero con 5 ascensores en lugar de uno, los 5 utilizados de manera indiferenciada por los huéspedes de las diversas plantas, el fenómeno casi habrá desaparecido.

En el caso específico que acabamos de ver, verás que el ascensor viene de arriba ya no una vez en 6, sino casi la mitad del tiempo. De hecho, en el momento en que presione el botón de solicitud de ascensor, el primer ascensor en llegar será el más cercano. Siempre suponiendo que los ascensores están distribuidos uniformemente a través de los diversos pisos, los ascensores de arriba serán menos, pero tendrán una mayor probabilidad de estar cerca de la persona que llama que los de abajo. La solución puede ser más clara si se abstrae del problema específico: supongamos que elegimos al azar algunos números reales entre 0 y 1, y nos preguntamos si el número más cercano a 0.9 es más probable que sea mayor o menor que 0.9. Es obvio que si el número elegido al azar es solo uno, es más probable que sea inferior a 0.9. Si en cambio los números elegidos son 1000 esperamos que se distribuyan aleatoriamente para que el número más cercano a 0, 9 Puede ser casi con la misma probabilidad mayor o menor. Volviendo al problema inicial, la probabilidad exacta de que el ascensor venga de arriba viene dada por la siguiente fórmula: 1 − = 1 − ( p − 2 p ) y 2 {\displaystyle 1 - \ left ={\frac {1- \ left ({\frac {p - 2}{p}}\right)^{n}} {2}}} , donde p {\displaystyle p} indica el número de plantas y y {\displaystyle n} el tipo del ascensor. En el caso de 7 pisos y 5 ascensores, tal probabilidad resulta alrededor de 0.41, pero con 10 ascensores ya es 0.48. Demostración de la fórmula: consideremos el ascensor más cercano al piso donde estamos, es decir, el penúltimo piso. Oportunidad P u {\displaystyle P_ {u}} que el ascensor viene de arriba es igual a la probabilidad de que el ascensor más cercano esté entre el penúltimo y el último piso. Por supuesto que tenemos que P u + P d = 1 {\displaystyle P_{u}+p_{d} = 1} podemos dividir P d {\displaystyle P_{d}} en dos: será la suma de probabilidad P d 1 {\displaystyle P_{d1}} que el ascensor más cercano está entre el primer y el tercer piso y la probabilidad P d 2 {\displaystyle P_{d2}} eso es entre el tercero y el último y el penúltimo piso: P d = P d 1 + P d 2 {\displaystyle P_{d} = P_{D1}+p_{D2}} la probabilidad P d 1 {\displaystyle P_{d1}} es fácil de calcular Oportunidad P d {\displaystyle P_{d}} que el ascensor viene de abajo es igual a la probabilidad de que el ascensor más cercano esté entre el primer y el penúltimo piso. Es la probabilidad de que todos los ascensores estén entre el tercer y el último piso. Si asumimos que los ascensores son independientes, esta es la probabilidad de que el primer ascensor es, que el segundo es, etc. Entonces P d 1 = y {\displaystyle P_{d1}= \ left ^{n}} las probabilidades P d 2 {\displaystyle P_{d2}} y P u {\displaystyle P_ {u}} son iguales. ¿Por qué es eso? Supongamos que sabe que el ascensor más cercano se encuentra entre el último y el último piso. Entonces P u = P d 2 {\displaystyle P_{u} = P_{D2}} de las cuatro ecuaciones escritas anteriormente se puede derivar P u {\displaystyle P_ {u}} , que es la cantidad buscada, y se obtiene como se muestra arriba P u = 1 − ( p − 2 p ) y 2 {\displaystyle P_{u}={\frac {1- \ left ({\frac {p - 2}{p}}\right)^{n}} {2}}} en el análisis realizado hemos asumido que la posición del ascensor a cualquier altura del edificio, corresponda o no exactamente a un piso, es equiprobable Dado que estamos en el plano medio entre ellos, es decir, el penúltimo plano, la probabilidad de que esto esté por encima o por debajo de nosotros es idéntica. Esto es obviamente un forzamiento del modelo, ya que los ascensores a menudo se detendrán en un piso. Por lo tanto, otros autores han preferido asumir, por el contrario, que en el momento en que se realiza la llamada del ascensor todos los ascensores están estacionarios, cada uno en un piso determinado (y que obviamente no hay ningún ascensor ya estacionario en el penúltimo piso, donde se realiza la llamada). En el caso de un solo Ascensor, este enfoque diferente no cambia la sustancia del problema, pero en el caso de varios ascensores sí lo hace. En este punto, podemos imaginar varios modelos (indicamos con p {\displaystyle p} el número de plantas y con y {\displaystyle n} número de ascensores): 1 − ( p − 2 p − 1 ) y {\displaystyle 1 - \ left ({\frac {p - 2}{p - 1}}\right)^{n}} ( p − 2 p − 1 ) y ⋅ ( 1 − ( p − 3 p − 2 ) y ) {\displaystyle \left ({\frac {p - 2}{p - 1}}\right)^{n}\cdot \left (1 - \left ({\frac {p - 3}{p - 2}}\right)^{n}\right)} en el primer caso, con 7 pisos, 5 ascensores, la probabilidad de que el ascensor provenga de la parte superior parece ser aproximadamente 0, 60, en el segundo caso, aproximadamente 0, 27 De hecho, se observa que si hay un ascensor en el último piso, Este será sin duda el ascensor más cercano, a lo sumo "a la par" con un posible Ascensor estacionado en el tercer último piso. Si los levantamientos son 10, las probabilidades son 0.84 y 0.14, respectivamente. Ambos modelos parecen distanciarse considerablemente del resultado esperado (y probablemente de la realidad), dado que en el primero, para y {\displaystyle n} que tiende al infinito la probabilidad de que el ascensor viene de la parte superior tiende a 1, mientras que en el segundo tiende a 0 (ya que la probabilidad de que no hay ascensor en el tercer piso último disminuye). Un modelo bastante efectivo se podría obtener mediando entre los dos modelos que acabamos de dar, y estableciendo que, si encuentras un ascensor en el piso superior y uno en el último, la probabilidad de que llegue desde arriba es 1 2 {\displaystyle {\frac {1} {2}}} , o la relación entre el número de ascensores que están en la última y el número de los que están en la penúltima. Estos modelos proporcionan resultados similares al modelo continuo, pero son significativamente más complicados.

Como ya se ha destacado, cada uno de los modelos estudiados tiene las fuerzas necesarias para simplificar el problema y que se refieren a la hipótesis de que los ascensores se están moviendo o no cuando el inquilino de la penúltima planta hace su llamada. En realidad, el factor que más altera los resultados, no considerados en estos modelos, es que los ascensores se utilizan de una manera nada homogénea para desplazarse entre las plantas. Incluso suponiendo que los usuarios de cada planta utilicen los ascensores por igual, en la mayoría de las situaciones los viajes desde la planta baja o a la planta baja serán mucho más frecuentes que los demás. Esto aumenta la percepción de la paradoja, es decir, si solo hay un ascensor, la probabilidad de que venga de abajo es aún mayor; en cambio, amortigua la percepción de la "ecualización" que se produce con múltiples ascensores.

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