Operaciones aritméticas sobre números reales

Los números reales son un conjunto de números en los que obviamente se pueden hacer operaciones, que corresponderán a aquellos, aprendidos en forma elemental, que se realizan en sus subconjuntos, como racional y natural. Al tener que enunciar cómo funcionan las operaciones aritméticas sobre reales, utilizaremos el concepto de truncamiento, ya utilizado para definirlos, y el principio de localización de Cantor. Además, dado que el truncamiento puede ser visto como un concepto bastante similar a la aproximación, también se puede observar una correlación entre el número de dígitos del truncamiento y la consiguiente precisión del resultado de la operación aritmética por aproximación decimal finita.

Lo primero que hay que hacer para tratar de definir la suma entre números reales está relacionado con el concepto de desigualdad entre números: si de hecho consideramos dos números a {\displaystyle a} y b {\displaystyle B} , podemos estimarlos desde arriba y abajo con números más grandes y más pequeños, es decir, podemos escribir: ahora podemos usar las propiedades de la suma y escribir como consecuencia que: en la práctica tenemos ya que podemos estimar la suma entre dos números entre las sumas de números que son más grandes o más pequeños que los sumandos También sabemos, por la definición de truncados de un número real s que: así que podemos escribir esta relación para nuestras dos adiciones, a y b: de esto y de lo que observamos antes viene el hecho de que: en este punto podemos usar el principio de localización aplicado a: pero como la relación entre el truncado por defecto y el uno por exceso es: esta sucesión de Me y {\displaystyle I_ {n} \ qquad } , también se puede escribir como: hemos obtenido así que la suma de dos números reales está contenida en una sucesión de intervalos, cuya magnitud es arbitrariamente pequeña (actuando sobre y {\displaystyle n} ), uno dentro del otro, y entonces podemos aplicar con seguridad el principio de localización de Cantor para encontrar la suma Dados los dos números reales a {\displaystyle a} y b {\displaystyle B} , su suma a + b {\displaystyle A + b} se puede definir como el único número real detectado por localización a partir de los intervalos gracias a la definición de la suma de números reales a través de una sucesión de intervalos en los que se contiene, podemos estimar el error que hacemos en la suma de dos números reales, truncado al enésimo dígito De hecho, dado que la sucesión de intervalos en cuestión es su amplitud será: en la práctica, por lo tanto, el error es de dos unidades en el último dígito es y luego si sumamos dos números reales truncados, por ejemplo, el quinto dígito, sabemos que el error del resultado se limita solo al quinto dígito, para el que los anteriores, estos últimos son exactos. En general si llamamos con m El número de dígitos decimales de las adiciones, y con n los dígitos decimales exactos que queremos obtener (en el resultado), entonces tendremos que respetar la relación:.

La diferencia entre números reales se define como un caso especial de la suma ( o + ( − p ) ) {\displaystyle (o+ (- p))} usando el concepto de lo contrario de un número real, y luego procediendo de la manera habitual, es decir, con truncamientos y localización. Entonces se define como el opuesto de un número real t {\displaystyle t} el número real − t {\displaystyle-t} definido por localización por secuencia de intervalos: .

Para definir el producto consideraremos dos números reales positivos, ignorando el caso de los negativos; esto se hace ya que cuando se multiplica real con signos divididos, primero se define el producto de sus valores absolutos, y luego se determina el signo como de costumbre (positivo si los signos difieren, negativo si son discordantes). Primero consideremos dos números reales x {\displaystyle x} y y {\displaystyle y} como consecuencia de las propiedades de la desigualdad podemos escribir: es decir, las estimamos desde arriba y desde abajo, y luego de nuevo escribir: pero para las propiedades de truncado: y luego tendremos que: ahora vamos a ver a qué intervalos pertenece este producto: pero ya que sabemos que para un verdadero genérico y {\displaystyle E} entonces podemos escribir la secuencia de intervalos, a la que le daremos el nombre de Me y {\displaystyle I_ {n} \ qquad } , cómo: para utilizar estas gamas para localizar el producto debemos probar la segunda hipótesis del principio de Cantor, es decir, que la amplitud de estas gamas enlatadas se puede hacer menor que para hacer esto primero debemos saber cuánto es la amplitud del intervalo (que es también la estimación del posible error de la operación, como veremos más adelante); de lo que se ha dicho antes podemos escribir esta desviación Y {\displaystyle E} cómo: este es el valor que tenemos que demostrar que es menor que cualquier potencia de 10 (m); ya que con la escritura de antes es muy difícil hacer operaciones de comparación, tratamos de estimar Y {\displaystyle E} en exceso, groseramente Del concepto de truncamiento derivamos que, para un genérico real f {\displaystyle F} : Y de esto podemos entonces escribir: por otra parte, desde y {\displaystyle n} es un número natural, entonces: así que podemos estimar, por exceso, Y {\displaystyle E} cómo: pediremos claridad el valor entre paréntesis F {\displaystyle F} : ahora podemos pensar en aumentar Y {\displaystyle E} con: Ahora vamos a buscar una potencia de 10 que es mayor que F {\displaystyle F} y vamos a llamarlo 10 h {\displaystyle 10^{h}} ; luego podemos escribir: lo que hemos hecho en la práctica es una serie de estimaciones de exceso, muy gruesas, pero que nos han permitido estimar el error más claramente; ahora, de hecho, podemos comparar la última cantidad obtenida con 10 − m {\displaystyle 10^ {- m}} , que fue lo que nos requirió el principio de localización: así obtuvimos un valor que debe respetarse, en la elección del número de dígitos de los factores, para aplicar Cantor; ahora podemos definir el producto entre números reales: datos x {\displaystyle x} y y {\displaystyle y} positivo real, usted define su producto x y {\displaystyle xy} como el número real definido por la localización de los intervalos si queremos operar una multiplicación entre dos números reales, la condición necesaria que habíamos asumido para aplicar Cantor, es decir, recordar que en este caso y {\displaystyle n} , la precisión del dígito con el que escribe los factores (índice truncado), debe elegirse igual a la suma entre m {\displaystyle m} , que es el exponente de la potencia de 10 del error máximo que desea cometer, y h {\displaystyle h} , que es el exponente de la potencia de 10 que es mayor El caso de estimar la exactitud en el producto entre reales es radicalmente diferente de lo que se ve para la suma: el error en la suma es independiente de las adiciones a agregar pero depende solo del número de dígitos con los que están calcular La idea a seguir en la definición del producto es muy similar a la de la suma, aunque más complicada. En cambio, el error del producto está enormemente influenciado por la magnitud de los factores, como lo demuestra el hecho de que 10 elevado a h {\displaystyle h} debe ser más grande que F {\displaystyle F} eso es .

Para describir como una función la división entre números reales es habitual utilizar el concepto, ya descrito, de producto multiplicando un número (dividendo) por el inverso de otro (divisor). El problema entonces se reduce a definir la inversa de un número real. Instintivamente sería utilizar de nuevo el principio de localización de Cantor (y trunca), pero esto es imposible: de hecho si dividimos 1 por un número decimal finito, el truncamiento del número que nos interesa, puede suceder que nos encontremos operando con series decimales periódicas. Esta complicación, sin embargo, se puede superar: si tenemos que definir el truncamiento y {\displaystyle n} - th de un número real a {\displaystyle a} utiliza una versión del algoritmo de Euclides extendida a los reales, luego ligeramente modificada. El algoritmo mencionado anteriormente se puede esquematizar de la siguiente manera: en este punto podemos definir con seguridad el cociente entre reales con el producto.

Aritmético

Números reales

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En matemáticas, un número irracional es un número real que no es un número racional, es decir, no se puede escribir como una fracción a / b con enteros a y b y ...
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