Números eulerianos

Estos números son los coeficientes de los polinomios, Euler: los polinomios, el Euler se definen por la función generadora del exponencial: se pueden calcular a través de la siguiente fórmula de recursión: una forma equivalente de dar esta definición es definir los polinomios, el Euler inductivamente: las notaciones para estos números son A (n, m) Y (n, m) y ⟨ y m ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle } En combinatoria, el número euleriano A (n, m) es el número de permutaciones de números entre 1 y n en los que exactamente m elementos son mayores que los anteriores. No deben confundirse con los números de Euler.

En 1755 Euler tratadas en el libro Institutiones calculi differentialis, con polinomios α 1 (x)=1, α 2 (x)= x +1, α 3 (x)= x 2 +4 x +1, etc. (Ver imagen en el lateral). Tales polinomios son una variante de lo que hoy se llama polinomios de Euler a n (x).

Para cada valor n & gt; 0, el índice m en A (n, m) puede tomar valores entre 0 y N -1. Para un n dado, sólo hay una permutación sin mayor valor que el anterior; es la permutación (n, n -1, n -2,. , 1). También hay solo uno con valores n -1 mayores que el anterior; es la permutación (1, 2, 3,. , y). Por lo tanto, a (n, 0) y a (n, n -1) son únicos para cada valor de n. Invertir una permutación con números m mayores que los respectivos números anteriores genera otra permutación donde esos valores están en cantidad n-m -1. Así que A (n, m) = A (n, n-m -1). Los valores de A (n, m) Se pueden calcular a mano para valores pequeños de n Y m. Por ejemplo, para n ≤ 3, tenemos: para valores más grandes de n, A (n, m) Se puede calcular utilizando la recursión de la que, por ejemplo: los valores de A (n, m) (secuencia A008292 de la OEIS) para 0 ≤ n ≤ 9 Son: este triangular se llama el triángulo del Euler y comparte algunas características con el triángulo Tartaglia. La suma de los números en la n - ésima fila es y ! {\displaystyle n! } .

Una forma cerrada para A (n, m) es la siguiente:

Es evidente a partir de la definición de combinatoria que la suma de números de Euler para un valor dado de n es el número total de permutaciones de números entre 1 y n, es decir, la serie alterna de números de Euler para n Dado está estrechamente relacionada con los números de Bernoulli B n +1 otras sumas interesantes para los números de Euler son: donde B n es el n - ésimo número de Bernoulli.

Los números de Euler aparecen en la función generadora de las secuencias de potencias N - thes esto implica que 0 0 = 0 y A (0, 0) = 1 (ya que hay una permutación de elementos 0, y ninguno de ellos puede ser mayor que otro). La identidad de Worpitzky permite expresar x n como una combinación lineal de números de Euler con coeficientes binomiales: de esta identidad se deduce que otra identidad curiosa es donde el numerador de la fracción derecha es un polinomio de Euler.

Las permutaciones del multiset {1, 1, 2, 2, ···, n, n } con la propiedad de que, por cada k, todos los números entre las dos ocurrencias de k en la permutación son mayores que k, se pueden contar a través del semi-factorial ( 2 y − 1 ) ! ! {\displaystyle (2n - 1)! ! } . Por ejemplo, si n = 3 hay 15 permutaciones de este tipo: los números euleriani del segundo tipo satisfacen la relación de recurrencia, que se deriva de la definición: con la condición inicial que N = 0, expresada a través de los corchetes de ISON : del mismo modo, los polinomios euleriani del segundo tipo, aquí indicados con P n (no hay una notación estándar) son, y para ellos está siguiendo la relación de recurrencia: con la condición inicial Esta última recurrencia se puede escribir de forma más compacta a través de un factor de integración: tal que la función racional satisface la siguiente relación de recurrencia: de la cual obtenemos polinomios de Euler en la forma P N (x) = (1− x) 2 N u n (x), y números Eulerianos de la segunda especie como coeficientes Números eulerianos de la segunda especie, denotados por ⟨ ⟨ y m ⟩ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle \ left \ langle\! \! \left \ langle {n \ atop m} \ right \ rangle\! \! \ right \ rangle } , sirven para contar el número de permutaciones con exactamente m elementos que son más grandes que el elemento que les precede. Estos son los primeros valores para los números Eulerianos de la segunda especie (secuencia A008517 de la OEIS): en la que, en consecuencia, la suma de la N - ésima fila (que también corresponde al valor de P n (1)), es ( 2 y − 1 ) ! ! {\displaystyle (2n - 1)! ! } .

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