Número poderoso

Un número poderoso es un entero positivo m tal que, por cada número primo p dividiendo m, p 2 divide m. equivalentemente, un número que es poderoso es el producto de un cuadrado a un cubo, que puede descomponerse en la forma m = a 2 b 3, donde a y b son enteros positivos (posiblemente iguales a 1). Los números poderosos, también conocidos como cuadrados, cuadrados llenos o 2 llenos, fueron estudiados por Paul Erdős y George Szekeres mientras que Solomon W. Golomb para llamarlos "poderosos" . Los primeros números poderosos, que van del 1 al 1000, son (secuencia OEIS a001694):.

Si m = a 2 b 3, entonces todos los primeros dentro de la factorización de A aparecen en la factorización de m con un exponente mayor o igual a dos, y todos los superiores dentro de la factorización de b aparecen en la factorización de m con un exponente mayor o igual a tres; por lo tanto, m es poderoso. Razonando en la dirección opuesta, asumimos que m es poderoso y factoriza como donde cada α i ≥ 2. Pongamos γ i igual a 3 {\displaystyle 3} si α i es impar, e igual a 0 {\displaystyle 0} si α i es par. Vamos a poner β i = α i-γ i, entonces todos los valores de β i son no negativos números enteros. Entonces satisface la representación deseada de m como un producto de un cuadrado y un cubo. Equivalentemente, dada la factorización de m, tomar b como el producto de los factores primos de m que tienen exponentes impares (si no hay ninguno, tomar b = 1). Dado que m es poderoso, cada factor primo con exponente impar tiene por exponente al menos 3 {\displaystyle 3} , entonces m / b 3 es un entero. Además, cada factor primo de m / b 3 tiene un exponente par, entonces m / b 3 es un cuadrado perfecto, y entonces puedes llamarlo un 2; por lo tanto m = a 2 b 3. Por ejemplo: la representación m = a 2 b 3 calculada de esta manera tiene la propiedad de que b es libre de cuadrados, y está definida únicamente por esta propiedad.

La suma de los recíprocos de los Números Poderosos converge a donde p encierra todos los primos, ζ(s) indica la función zeta de Riemann y ζ (3) es la constante de apéry (Golomb, 1970). Además, al definir k (x) como el número de Números Poderosos en el intervalo, se tiene que k(x) es asintótica en la raíz cuadrada de x. más precisamente, (Golomb, 1970) la secuencia de pares de Números Poderosos está dada por la secuencia OEIS a060355. Los dos Números Poderosos más pequeños son 8 y 9. Dado que la ecuación de Pell x 2 -8 y 2 =1 tiene infinitas soluciones enteras, hay infinitos pares de Números Poderosos (Golomb, 1970); más generalmente, uno puede encontrar un par de Números, Poderosos, resolviendo una ecuación Pell similar x 2 − ny 2 =±1 para cada cubo perfecto n. Sin embargo, uno de los dos números, el poderoso de un par formado de esta manera debe ser un cuadrado. Erdős planteó el problema si hay pares infinitos de Números Poderosos consecutivos como (23 3, 2 3 3 2 13 2), donde ningún número del par es un cuadrado. Jarosław Wróblewski mostró que, de hecho, hay pares infinitos de este tipo, mostrando que 3 3 c 2 +1=7 3 d 2 tiene soluciones infinitas. Según una conjetura de Erdős, Mollin y Walsh, no hay tres números poderosos consecutivos.

Se sabe que cada número impar es la diferencia de dos cuadrados consecutivos. De hecho, (k + 1) 2 = k 2 + 2k +1 2 y, a continuación, (k + 1) 2 - k 2 = 2 k + 1. Del mismo modo, cada múltiplo de cuatro es la diferencia de los cuadrados de dos números que difieren por dos: (k + 2) 2-k 2 = 4 k + 4. Sin embargo, un número singularmente par (es decir, divisible por dos, pero no por cuatro) no puede expresarse como una diferencia de cuadrados. Esto lleva a uno a preguntarse qué números pares individualmente se pueden expresar como diferencias de Números Poderosos. Golomb mostró algunas representaciones de este tipo: se ha conjeturado que 6 no se puede representar, mientras que Golomb ha conjeturado que existen enteros infinitos que no se pueden representar como la diferencia de dos Números Poderosos. Sin embargo, Narkiewicz mostró que 6 se puede expresar en un número infinito de maneras, Como y McDaniel mostró que cada entero tiene infinitas representaciones de este tipo (McDaniel, 1982). Erdős conjeturó que cada entero suficientemente grande es una suma de como máximo tres Números Poderosos; la conjetura fue probada por Roger Heath - Brown (1987).

Más generalmente, podemos considerar todos esos enteros cuyos exponentes son por lo menos k. tal número entero se llama un número K-potente, número K-completo o número K-completo. Los números son k-Números Poderosos en progresión aritmética. Además, si a 1, a 2, . , a s Son K-de gran alcance en una progresión aritmética de la razón d, entonces son números (s + 1) K-de gran alcance en la progresión aritmética. En cuanto a los números K-poderosos, tenemos la siguiente identidad: que nos da infinitos (l + 1) - ups de números K - poderosos cuya suma es también K - poderosos. Nitaj demostró que hay soluciones infinitas de x + Y = z formadas por 3 poderosos números coprimos (Nitaj, 1995). Cohn ha construido una familia interminable de soluciones de x + Y = z formada por los números 3-potente, no cubos, me cubren, de la siguiente manera: la tríada es una solución de la ecuación 32 x 3 + 49 y 3 = 81 Z 3 y podemos hacer otra solución dejando x ''= X (49 y 3 +81 Z 3), Y ''= − y (32 X 3 +81 Z 3), Z '' = Z (32 X 3 -49 y 3), y omitiendo el divisor común.

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