Método Frobenius

Puede dividir la ecuación diferencial por z 2 {\displaystyle z^{2}} y obtener una forma equivalente: esta última no es solucionable por expansión en serie de potencias, o buscando soluciones del tipo: si p ( z ) / z {\displaystyle P (z) / z} o q ( z ) / z 2 {\displaystyle q (z)/z^{2}} no es analítico en z = 0 {\displaystyle z=0} En matemáticas, el método de Frobenius, cuyo nombre proviene del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius, describe una forma de encontrar una solución por desarrollo serial para una ecuación diferencial ordinaria del segundo grado de la forma: en la vecindad del punto singular regular z = 0 {\displaystyle z=0} . El método Frobenius permite crear soluciones en serie de potencias a este tipo de ecuaciones diferenciales en el caso de que p ( z ) {\displaystyle P (z)} y q ( z ) {\displaystyle q (z)} son a su vez analíticos alrededor del origen o, siendo analíticos en cualquier otro punto, incluso si sus límites cero existen y son finitos.

El método de Frobenius establece que uno puede buscar una solución en la forma: derivando uno tiene: y luego sustituyendo: la expresión: se conoce como el polinomio de índice o polinomio característico, que es cuadrático en r {\displaystyle r} y definido como el coeficiente de la potencia más pequeña de z {\displaystyle z} en la serie infinita. En este caso es el r {\displaystyle r} - TH coeficiente, pero puede suceder que el exponente más pequeño es r − 2 {\displaystyle R - 2} , r − 1 {\displaystyle R - 1} o algo más dependiente de la ecuación diferencial dada. Este detalle es significativo porque en el proceso de sincronización de los índices de todas las series de la ecuación diferencial, es necesario que todos estos comiencen con el mismo valor de índice (en la expresión anterior es k = 1 {\displaystyle K=1} ), puede llegar al final con una expresión complicada. Como se ha dicho, la expresión general del coeficiente de z k + r {\displaystyle z^{k + r}} es: estos coeficientes, para ser la solución de la ecuación diferencial, debe ser null: de la que se tiene: y por lo tanto: la solución en forma de una serie con A k {\displaystyle A_{K}} : satisface: si elige una de las raíces de la ecuación de índice para r {\displaystyle r} en U r ( z ) {\displaystyle U_{r} (z)} se obtiene la solución de la ecuación diferencial Sin embargo, en la búsqueda de soluciones de la ecuación de índice (ecuación característica) la atención se centra solo en el coeficiente de la menor potencia de z {\displaystyle z} . Si la diferencia entre las raíces no es un entero, con la otra raíz se obtiene otra solución linealmente independiente de la primera.

Usando soluciones seriales: y sustituyendo usted tiene: ahora debe cambiar el índice a la última suma: y tomar un elemento de la suma que comienza con k = 0 {\displaystyle K = 0} obtenemos que todas las sumaciones comienzan con el mismo índice: resolviendo la ecuación característica r ( r − 1 ) − r + 1 = r 2 − 2 r + 1 = 0 {\displaystyle R (r-1) - r+1 = r^{2} - 2r + 1 = 0} , que tiene una raíz doble del valor 1, se obtiene la primera solución a la ecuación diferencial Considere la ecuación: dividendo por z 2 {\displaystyle z^{2}} obtienes: que tiene la solicitud de singularidad en z = 0 {\displaystyle z=0} . Usando esta raíz, colocando el coeficiente de z k + r − 2 {\displaystyle z^{k + r-2}} para que sea null (para ser una solución): se llega a la relación de recurrencia: dadas las condiciones iniciales, se puede resolver completamente la relación de recurrencia y obtener la solución como una expansión en serie. Dado que la relación de los coeficientes A k / A k − 1 {\displaystyle A_{K} / A_{K-1}} es una función racional, la serie de potencias se puede expresar como un caso especial de la serie hipergeométrica generalizada.

El ejemplo anterior implica un polinomio característico con una raíz repetida, que entonces proporciona solo una solución a la ecuación diferencial dada. En general, el método Frobenius proporciona dos soluciones linealmente independientes si las raíces son distintas y su diferencia no es un entero (es decir, si las raíces no están separadas por Z). Si las raíces se repiten o difieren por un entero, entonces la segunda solución se puede encontrar por la ecuación: donde y 1 ( x ) {\displaystyle y_{1} (x)} es la primera solución y los coeficientes a k {\displaystyle A_{K}} necesitan ser determinados.

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