Método de volúmenes terminados

El método numérico de volúmenes finitos es un método útil en la integración de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. Estas ecuaciones deben integrarse en un volumen en cuyos límites se imponen las condiciones de límite. El interior de este dominio se divide en muchos volúmenes elementales, a continuación, a través de la forma integral de las ecuaciones del problema considerado se escriben las relaciones que se producen entre los diversos volúmenes vecinos para que puedan ser resueltos numéricamente con la ayuda de la calculadora. La aproximación radica en el hecho de que tales volúmenes tienen una dimensión finita y no infinitesimal.

Consideremos el problema definido por la siguiente ecuación diferencial parcial: donde ρ = ρ ( x , t ) {\displaystyle \rho =\Rho \left (x, t \ right)\ } representa la variable de estado y f = f ( ρ ( x , t ) ) {\displaystyle F=f\left(\rho \left (X, t \ right) \ right)\ } representa el flujo de ρ {\displaystyle \ rho \ } . En particular, asumimos f {\displaystyle F\ } positivo o negativo dependiendo de la dirección del flujo. Para una celda en particular Me {\displaystyle i\ } podemos definir el volumen promedio de ρ Me ( t ) = ρ ( x , t ) {\displaystyle {\rho} _{i} \ left (t \ right)= \rho \ left (x, t \ right)\ } ocasionalmente t = t 1 {\displaystyle {t = t_{1}}\ } y x ∈ {\displaystyle {x \ in \ left }\ } , as: y el volumen medio relativo a la tiempo t = t 2 {\displaystyle {t = t_{2}}\ } , cómo: dónde x Me − 1 2 {\displaystyle x_{i - {\frac {1} {2}}}\ } y x Me + 1 2 {\displaystyle x_{i+{\frac {1} {2}}}\ } identificar las posiciones de las caras del flujo saliente y entrante, en relación con el Me y s Me m a {\displaystyle i_ {th}\ } celular Al integrar la ecuación (1) con respecto al tiempo, obtenemos: para obtener el volumen promedio de ρ ( x , t ) {\displaystyle \Rho \left (x, t \ right)} ocasionalmente t = t 2 {\displaystyle T = t_{2}\ } , integrar ρ ( x , t 2 ) {\displaystyle \rho \left (X, t_{2} \ right)} sobre todo el volumen de la célula v Me {\displaystyle v_{i}\ } y dividimos el resultado por v Me {\displaystyle v_{i}\ } , por lo que asumimos una cierta regularidad de f {\displaystyle F\ } , y que podemos invertir el orden de la integración Siendo el flujo normal a la superficie de la unidad de área de la celda, como en un tamaño f x ≜ ∇ f {\displaystyle F_{x} \ triangleq \nabla f} , podemos aplicar el teorema de divergencia, reemplazando la integral de volumen de la divergencia con el valor de f ( x ) {\displaystyle F (x)\ } tomado en las caras x Me − 1 2 {\displaystyle x_{i - {\frac {1} {2}}}\ } y x Me + 1 2 {\displaystyle x_{i+{\frac {1} {2}}}\ } del volumen terminado, es decir: donde Δ x Me = x Me + 1 2 − x Me − 1 2 {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}} - x_{i - {\frac {1}{2}}}} y f Me ± 1 2 = f ( ρ ( x Me ± 1 2 , t ) ) {\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(\rho \left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}}, t\right)\derecho)} También podemos derivar un esquema numérico semi-discreto para el siguiente problema con el Centro de celdas indexadas con Me {\displaystyle i\ } , y usar como índices para flujos en caras Me ± 1 2 {\displaystyle i \ pm {\frac {1} {2}}} ; diferenciando el (6) con respecto al tiempo que obtenemos: donde los valores f Me ± 1 2 {\displaystyle f_{i \ pm {\frac {1}{2}}}} los flujos en las caras se pueden obtener a partir de una operación de interpolación o extrapolación de las medias relativas a cada celda Si consideramos la ecuación (1) relativa al flujo de materia a través de una superficie de área constante, podemos dividir todo el dominio espacial x {\displaystyle x\ } en un número de volúmenes finitos o celdas, ubicándose con el índice Me {\displaystyle i\ } el Centro de cada célula. Cabe señalar que la ecuación (7) es exacta con respecto a los volúmenes medios, en el sentido de que no se introdujo ninguna aproximación a este respecto durante el tratamiento realizado.

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