Mecánica hamiltoniana

La mecánica hamiltoniana, la física y las matemáticas, y en particular en la Mecánica Racional y el análisis de sistemas dinámicos, es una reformulación de la mecánica clásica introducida en 1833 por William Rowan Hamilton, a partir de la mecánica lagrangiana, descrita por primera vez por Joseph - Louis Lagrange en 1788.

Hamilton introdujo un formalismo que subyace a la Mecánica Estadística y la mecánica cuántica, lo que permite formular fácilmente la compatibilidad entre probabilidad y dinámica. Otro ejemplo de una teoría física basada en la mecánica hamiltoniana es la teoría de perturbaciones. Al operar una opción diferente de coordenadas para generar el espacio de fase, reescribe las ecuaciones del movimiento de Euler - Lagrange, que fueron la base de la descripción de Lagrange, en forma de ecuaciones de Hamilton y corresponde a la energía total del sistema una función escalar llamada hamiltoniana.

En mecánica Lagrangiana, las coordenadas del sistema dinámico en el espacio de Estados, utilizadas para identificar un punto material en movimiento, son sus coordenadas generalizadas x = ( x 1 , … , x y ) ∈ R y {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1}, \dots, x_{N})\in \ mathbb {r} ^{n}} y las velocidades generalizadas correspondientes x ˙ = ( x ˙ 1 , … , x ˙ y ) {\displaystyle \mathbf {\dot {x}} =({\dot {x}}_{1}, \dots, {\dot {x}}_{n})} , donde el punto denota la derivada de tiempo total La dinámica de un sistema físico se caracteriza por el hecho de que el movimiento de un cuerpo tiende a hacer estacionario, es decir, en variación cero, una cantidad abstracta llamada acción, una funcional definida como la integral en el tiempo del lagrangiano. Esto es generalmente equivalente a minimizar la energía del sistema dinámico bajo consideración, que es la suma de la energía potencial más la energía cinética. Por lo tanto, el sistema dinámico que consiste en el punto en movimiento se describe solo por la función escalar (llamada " lagrangiana ") : por medio de las ecuaciones de LaGrange, en lugar de las fuerzas de los componentes y los momentos mecánicos. En coordenadas cartesianas, si el movimiento es sin restricciones esta escritura coincide con la ecuación de Newton: La ecuación del movimiento se puede expresar como ecuaciones variacionales de Euler: donde L = T − U {\displaystyle L = T-U} es Lagrangiana de Newton, que es la diferencia entre la energía cinética T {\displaystyle T} y energía potencial U {\displaystyle U} sistema. Hamilton propuso volver a expresar la ecuación variacional de Euler, que es de segundo orden, en dos ecuaciones de primer orden definiendo los momentos lineales conjugados p {\displaystyle \mathbf {p} } a las coordenadas. El momento de la coordenada q Me {\displaystyle q_{i}} de un cuerpo en movimiento es la derivada parcial del lagrangiano con respecto a la coordenada: o: el espacio bidimensional coordenada-momento ( q , p ) {\displaystyle (\mathbf {q}, \mathbf {p})} se llama espacio de fase. En coordenadas cartesianas la definición de momento lineal conjugado, que es válida para un sistema de coordenadas más genérico, es equivalente al momento : .

En el caso de un sistema dinámico particularmente importante con restricciones, independiente del tiempo, el Hamiltoniano coincide con la energía total del sistema, y por lo tanto es la suma de la energía cinética y la energía potencial con la energía cinética expresada en general: analizar la evolución temporal del sistema a partir de H {\displaystyle {\mathcal {H}}} implica Hamilton ecuaciones: una reescritura de las ecuaciones de Eulero-Lagrange La transformación Legendre del lagrangiano, en coordenadas canónicas ( q , p ) {\displaystyle (\mathbf {q}, \mathbf {p})} es el Hamiltoniano: con q ˙ = q ˙ ( q , p , t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q}, \mathbf {p}, t)} . A partir de ellos se escriben las ecuaciones de movimiento en el modelo Hamiltoniano. Las ecuaciones de Hamilton son simétricas con respecto a p {\displaystyle \mathbf {p} } y q {\displaystyle \ mathbf {q} } , es decir, el intercambio ± q {\displaystyle \ pm \ mathbf {q} } con ∓ p {\displaystyle \ mp \ mathbf {p} } los deja sin cambios. Más generalmente, las coordenadas canónicas se llaman todas las variables generalizadas cuyas transformaciones, llamadas transformaciones canónicas, dejan la forma de las ecuaciones de Hamilton sin cambios. Son la base para la descripción de muchos fenómenos naturales. En mecánica cuántica, la función hamiltoniana, llamada operador Hamiltoniano, es particularmente importante y se corresponde con la energía observable, por ejemplo, la energía de partículas subatómicas o sistemas de partículas.

La mecánica hamiltoniana, al estar interesado en los objetos en movimiento, cae dentro del marco del análisis de los sistemas dinámicos, con el que comparte el formalismo matemático. Al campo v {\displaystyle \ mathbf {v} } es el Hamiltoniano asociado H {\displaystyle {\mathcal {H}}} , es decir: donde: es la matriz simpléctica estándar y ∇ {\displaystyle \nabla } es el gradiente: el campo v {\displaystyle \ mathbf {v} } así definido es el campo vectorial Hamiltoniano, y es solenoide ( ∇ ⋅ v = 0 {\displaystyle \nabla \ cdot \ mathbf {v} = 0} ) Las ecuaciones de Hamilton tienen la forma característica de un sistema dinámico continuo: con v {\displaystyle \ mathbf {v} } un campo vectorial en el espacio de fase, incluso en el caso en que las coordenadas q {\displaystyle \ mathbf {q} } no son ortogonales, sino por ejemplo polares o cilíndricos. De hecho, para una elección arbitraria de q {\displaystyle \ mathbf {q} } (por ejemplo, Polar o cilíndrico), utilizando momentos lineales conjugados p = ∂ L / ∂ q ˙ {\displaystyle \mathbf {p} =\partial {\mathcal {l}}/\partial \mathbf {\dot {q}} } el sistema dinámico todavía tiene la forma x ˙ = Y ∇ H ( x ) {\displaystyle \mathbf {\dot {x}} =E\, \ nabla {\mathcal {h}} (\mathbf {x})} La importancia de elegir coordenadas Hamiltonianas ( q , p ) {\displaystyle (\mathbf {q}, \mathbf {p})} , en lugar de los Lagrangianos ( q , q ˙ ) {\displaystyle (\mathbf {q}, \mathbf {\dot {q}})} , está relacionado con el hecho de que - como se definen-las coordenadas canónicas se comportan, en cierto sentido, como coordenadas cartesianas ortogonales. Esto permite que las ecuaciones de Hamilton tengan una estructura particularmente simétrica.

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