Matriz Triangular

El término matriz triangular, en matemáticas, denota matrices cuadradas que tienen todos los elementos nulos por debajo o por encima de la diagonal principal. Dependiendo de si los elementos nulos están por debajo o por encima de la diagonal, la matriz se llama matriz triangular superior o matriz triangular alta y la matriz triangular inferior o matriz triangular baja respectivamente.

Las matrices triangulares inferiores son matrices cuadradas que tienen nulos todos los elementos por encima de la diagonal principal, es decir, la forma: si los números en la diagonal de L {\displaystyle L} Todos son iguales a 1 (elementos de tipo l Me , Me {\displaystyle l_{I, i}} ) La matriz se llama matriz de unidad triangular inferior, matriz de unidad triangular inferior o matriz triangular inferior normalizada Se dice en cambio matriz triangular superior una matriz cuadrada con Null los elementos debajo de la diagonal principal, es decir, de la forma: si todas las entradas u Me , Me {\displaystyle u_{I, i}} en la diagonal de U {\displaystyle U} son iguales a 1 la matriz se llama la matriz de la unidad triangular superior, la matriz de la unidad triangular superior, o la matriz triangular superior normada. Para mayor claridad en lugar de la matriz triangular inferior (superior) deberíamos hablar de la matriz triangular inferior/izquierda (superior/derecha), para distinguirlas de las matrices triangulares definidas a partir de la diagonal secundaria en lugar de la principal. Las Matrices que son similares a las matrices triangulares se llaman triangolarizables. Varias operaciones conservan la forma triangular: gracias a estos hechos, el conjunto de las matrices triangulares superiores Es una subálgebra del álgebra asociativa de las matrices cuadradas de una dimensión dada. Además, también se deduce que las matrices triangulares superiores pueden tratarse como una subálgebra de lie del álgebra de Lie de las matrices cuadradas de una dimensión dada, donde el paréntesis de Lie {\displaystyle } está dado por el Interruptor a b − b a {\displaystyle ab-ba} . Estas propiedades, expuestas para una matriz triangular superior, son igualmente válidas para matrices triangulares inferiores.

Una matriz que es triangular inferior y triangular superior es una matriz diagonal. Más precisamente, la intersección del conjunto de matrices triangulares inferiores con el conjunto de matrices triangulares superiores coincide con el conjunto de matrices diagonales. Más particularmente la intersección del conjunto de matrices triangulares inferiores normadas con el conjunto de matrices triangulares superiores normadas contiene solo la matriz de identidad. También se observa que por transposición las matrices triangulares inferiores se transforman en matrices triangulares superiores y viceversa. En particular, la transposición transforma las matrices triangulares inferiores normalizadas en matrices triangulares superiores normalizadas y viceversa. Así que muchas conclusiones obtenidas mirando las matrices singulares más bajas se pueden convertir fácilmente en conclusiones sobre las matrices singulares más altas.

El producto de dos matrices triangulares inferiores es una matriz triangular inferior: entonces el conjunto de matrices triangulares inferiores forma un álgebra. Más específicamente el producto de dos matrices triangulares inferiores normadas es una matriz triangular inferior normada: entonces el conjunto de matrices triangulares inferiores normadas forma un álgebra que constituye una subálgebra de la anterior. Si a {\displaystyle a} y b {\displaystyle B} son dos reales observamos que: observamos que estas matrices expresan las transformaciones del plano que llevan las líneas horizontales y = k {\displaystyle Y = k} en sí mismo los hacía deslizarse rígidamente para que el punto ( x , y ) {\displaystyle (x, y)} ir al punto ( x + a y , y ) {\displaystyle (x+ay, y)} Para la dualidad se sacan las mismas conclusiones para las matrices triangulares superiores. Particularmente simple y significativo es el álgebra de matrices triangulares superiores normadas 2 x 2. Las álgebras de matrices triangulares superiores tienen una generalización natural en el análisis funcional que conduce a las álgebras de nido. Generalmente, las operaciones en matrices triangulares se pueden realizar en la mitad del tiempo que las correspondientes en matrices genéricas.

El sistema de ecuaciones: apoyado por una matriz triangular superior normada se puede resolver de una manera similar. Dado que las matrices triangulares se calculan fácilmente, son muy importantes en el análisis numérico. LU decomposition proporciona un algoritmo para la descomposición de cada matriz invertible A {\displaystyle A} en una matriz triangular inferior normalizada L {\displaystyle L} y una matriz triangular superior R {\displaystyle R} .

Análisis numérico

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