Matriz Simpléctica

En matemáticas, una matriz simpléctica es una matriz M {\displaystyle M} Tamaño 2 y × 2 y {\displaystyle 2n \ times 2n} (cuyos elementos son típicamente reales o complejos) que satisface la condición: donde M T {\displaystyle M^{T}} indica la matriz transpuesta de M {\displaystyle M} y J {\displaystyle j} es la matriz antisimétrica 2 y × 2 y {\displaystyle 2n \ times 2n} : Aqui Me y {\displaystyle I_ {n}} es la matriz de identidad y × y {\displaystyle n \ times n} Tenga en cuenta que J {\displaystyle j} tiene determinante + 1 {\displaystyle +1} y cuadrado es el opuesto de la matriz de identidad: J 2 = − Me 2 y {\displaystyle j^{2}= - i_{2n}} algunos autores prefieren J {\displaystyle j} diferente para la definición de matrices simplécticas. La única propiedad esencial es que J {\displaystyle j} let ser una matriz antisimétrica no singular. La alternativa más común es la forma de bloque diagonal: tenga en cuenta que esta elección difiere de la anterior por una permutación de los vectores de la base. De hecho, cada elección de J {\displaystyle j} se puede llevar en una de las dos formas anteriores con una opción diferente de base. Vea la formulación abstracta más adelante en la sección de transformaciones simplécticas.

Cada matriz simpléctica tiene una inversa dada por: Además, el producto de dos matrices simplécticas sigue siendo una matriz simpléctica. Este hecho atribuye al conjunto de todas las matrices simplécticas la estructura del grupo. Hay una estructura de variedad natural en este grupo que produce un grupo de lie (real o complejo) llamado grupo simpléctico. Usando el teorema de Binet, se deduce inmediatamente de la definición que el determinante de cada matriz simpléctica es ± 1 {\displaystyle \ pm 1} más precisamente, está demostrado que vale la pena 1 {\displaystyle 1} a través del uso de pfaffiano y la identidad: desde M T J M = J {\displaystyle M^{T} JM = J} y Pf ( J ) ≠ 0 {\displaystyle {\mbox{Pf}} (J) \ neq 0} tiene que det ( M ) = 1 {\displaystyle \det(M)=1} El grupo simpléctico tiene dimensión y ( 2 y + 1 ) {\displaystyle n (2n+1)} . Ambos M {\displaystyle M} una matriz de bloques 2 y × 2 y {\displaystyle 2n \ times 2n} fecha de: dónde A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} y D {\displaystyle D} son matrices y × y {\displaystyle n \ times n} . Entonces la condición que M {\displaystyle M} si symplectic es equivalente a las condiciones: cuando y = 1 {\displaystyle n=1} estas condiciones se reducen a la sola condición det ( M ) = 1 {\displaystyle \det(M)=1} . Luego una matriz 2 × 2 {\displaystyle 2 \ times 2} es simpléctica si y solo si tiene un determinante unitario.

En la formulación abstracta del Álgebra Lineal, las matrices son reemplazadas por transformaciones lineales de espacios vectoriales de dimensiones finitas. El análogo abstracto de una matriz simpléctica es una transformación simpléctica de un espacio vectorial simpléctico. Una transformación simpléctica es, por lo tanto, una transformación lineal f : V → V {\displaystyle f:V\to V} que conserva ω {\displaystyle \ omega } , es decir: la fijación de una base para V {\displaystyle V} , ω {\displaystyle \ omega } se puede escribir como una matriz J {\displaystyle j} y f {\displaystyle F} como una matriz M {\displaystyle M} La condición de que f {\displaystyle F} si una transformación simpléctica es solo eso M {\displaystyle M} let a symplectic matrix: hacer un cambio básico, representado por una matriz A {\displaystyle A} , usted tiene: usted puede llevar siempre J {\displaystyle j} en una de las dos formas estándar dadas en la introducción con una opción adecuada de A {\displaystyle A} En resumen, un espacio vectorial simpléctico es un espacio vectorial 2 y {\displaystyle 2n} - dimensional V {\displaystyle V} equipado con una forma bilineal antisimétrica no degenerada ω {\displaystyle \ omega } .

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