Matriz Diagonal

En matemáticas, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que solo los valores de la diagonal principal pueden ser diferentes de 0. No se requiere que los valores en la diagonal sean distintos de cero: la matriz cuadrada nada es, por lo tanto, diagonal. Por ejemplo, las siguientes matrices son diagonales: al igual que la matriz de identidad. A veces entre matrices diagonales también se consideran matrices rectangulares del tipo:

Matriz D = ( d Me , j ) {\displaystyle d = (d_{i, j})} Tamaño y × y {\displaystyle n \ times n} es diagonal si: cada matriz diagonal es también una matriz simétrica y una matriz triangular, y si sus valores pertenecen al campo R {\displaystyle \ mathbb {R} } o C {\displaystyle \mathbb {C} } también es una matriz normal. Los valores propios de la matriz son los Términos colocados en la diagonal principal. Cada matriz diagonal es también una matriz escalonada: el primer elemento distinto de cero de cada fila se encuentra más a la derecha del primer elemento distinto de cero de la fila anterior. Todos y solo los elementos no nulos se encuentran en la diagonal principal.

Una matriz diagonal que tiene los valores en la diagonal de todos modos es una matriz escalar. Tal matriz es un múltiplo λ Me {\displaystyle \ lambda I} de la matriz de identidad Me {\displaystyle I} para un escalar λ {\displaystyle \ lambda } . Una matriz escalar a valores en un campo K {\displaystyle K} representa una homotetia en el espacio vectorial K y {\displaystyle K^{n}} : transformar cada vector multiplicándolo por escalar λ {\displaystyle \ lambda } . Las matrices escalares son el centro del álgebra matricial: en otras palabras, las matrices escalares de tipo n × n son precisamente las matrices que cambian con todas las demás matrices del mismo tipo.

Indicando con diag ( a 1 , … , a y ) {\displaystyle {\mbox{ diag }} (a_{1}, \dots, a_{n})} la matriz diagonal con los valores a 1 , … , a y {\displaystyle A_{1}, \ dots, a_{n}} colocado en secuencia en la diagonal principal (comenzando desde la esquina superior izquierda), la adición es la adición común de miembro A miembro entre matrices, es decir: multiplicación entre matrices diagonales, también se simplifica a una multiplicación miembro por miembro, es decir, la matriz diagonal diag ( a 1 , … , a y ) {\displaystyle {\mbox{ diag }} (a_{1}, \dots, a_{n})} es invertible si y solo si los valores a 1 , … , a y {\displaystyle A_{1}, \ dots, a_{n}} , que son los valores propios de la matriz, son todos invertible Multiplicar la matriz A {\displaystyle A} de izquierda a diag ( a 1 , … , a y ) {\displaystyle {\mbox{ diag }} (a_{1}, \dots, a_{n})} es igual, por cada i para multiplicar la i-ésima fila de A {\displaystyle A} para a Me {\displaystyle a_{i}} para cada i; multiplique la matriz A {\displaystyle A} desde la derecha con diag ( a 1 , … , a y ) {\displaystyle {\mbox{ diag }} (a_{1}, \dots, a_{n})} es equivalente a multiplicar la i-ésima columna de A {\displaystyle A} para a Me {\displaystyle a_{i}} para cada i Las operaciones de suma y multiplicación son particularmente simples para matrices diagonales. En este caso tenemos: en particular, las matrices diagonales forman un sub-anillo de las matrices del anillo de las matrices n × n. las matrices diagonales n × n por lo tanto representan transformaciones que en los ejes de referencia tienen el efecto de homotetias. La presencia de un cero en la Diagonal principal es equivalente a la eliminación del tamaño correspondiente. Consideremos, por ejemplo, las siguientes matrices: la primera expresa la reflexión con respecto al plano de Oxz. El segundo expresa la proyección en el plano Oxi seguida de la reflexión con respecto al eje del Buey. El tercero es la proyección ortogonal del espacio sobre el eje Oy seguido por la reflexión de este último y su homotetia por un factor 3.

Los valores propios de diag ( a 1 , … , a y ) {\displaystyle {\mbox{ diag }} (a_{1}, \dots, a_{n})} Son a 1 , … , a y {\displaystyle A_{1}, \ dots, a_{n}} . Los vectores unitarios y 1 , … , y y {\displaystyle \mathbf {e} _{1}, \dots, \ mathbf {e} _{n}} forman una base de vectores propios. El determinante de diag ( a 1 , … , a y ) {\displaystyle {\mbox{ diag }} (a_{1}, \dots, a_{n})} es el producto a 1 ⋅ ⋯ ⋅ a y {\displaystyle A_{1} \ cdot \ dots \ cdot a_{n}} . Así que una matriz diagonal de orden n satisface las n ecuaciones de tipo: un ejemplo típico de una matriz diagonal es la matriz de identidad de tipo: en la que los elementos son dados por el símbolo de Kronecker : .

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