Matriz De Walsh

En matemáticas, una matriz de Walsh es una matriz cuadrada, que tiene como número de filas y columnas una potencia de 2 {\displaystyle 2} , con los posibles valores de los elementos de la matriz limitados a + 1 {\displaystyle +1} y − 1 {\displaystyle - 1} , tal que el escalar del producto entre dos filas distintas (o entre dos columnas distintas) es cero. La matriz de Walsh se puede obtener de una matriz de Hadamard ordenada naturalmente por la fórmula recursiva a continuación. En la matriz de Hadamard ordenada secuencialmente, las filas se reorganizan para que el número de cambios de signo esté en orden ascendente. Cada fila de una matriz Walsh está asociada con una función Walsh. La matriz de Walsh y la función de Walsh se utilizan para calcular la transformación de Walsh y tienen aplicaciones en implementaciones eficientes de algunas operaciones que sirven al proceso de señal.

El tamaño de las matrices Hadamard 2 k {\displaystyle 2^{k}} para k ∈ Y {\displaystyle k \ in N} se obtienen por la siguiente fórmula recursiva y en general para 2 ≤ k ∈ Y {\displaystyle 2 \ leq k \ in N} , donde ⊗ {\displaystyle \otimes } denota el producto Kronecker entre matrices. La clasificación de filas de la matriz de Walsh se puede obtener a partir de la clasificación de la matriz de Hadamard aplicando primero la permutación de bits invertidos y luego la permutación del código gris.

En la tecnología CDMA (Code Division Multiple Access) que subyace a tecnologías más conocidas como UMTS, se utilizan matrices Walsh debido a sus propiedades particulares. El objetivo es identificar de manera única cuando un terminal está iniciando una comunicación, para ello las opciones son dos: la segunda idea, por más contraintuitiva que sea, es aquella en la que se basan el CDMA y sus derivados. El único truco necesario para que todo funcione, es tomar códigos ortogonales entre ellos. De esta manera, imaginando la comunicación como un espacio multidimensional donde cada código tiene su propio eje, haciendo disponible el producto escalar en todos los ejes, si el punto se encuentra en el eje corresponde a la fuente, no hubo comunicación, viceversa, hubo comunicación y el producto escalar del punto indica exactamente qué palabra se usó. Simplifiquemos la idea con un ejemplo tridimensional donde hay comunicaciones con el código "x" , el código "y" y el Código "z" . Si en lugar de 3 dispositivos tenemos "n" , Simplemente aumente el número de ejes moviéndose de un espacio tridimensional a un espacio "n - dimensional" . Por lo tanto, pasando de esta representación "espacial" de la idea propuesta al uso práctico real, se pensó en usar matrices Walsh. De hecho, era necesario crear lenguajes ortogonales entre ellos de tal manera que todas sus palabras de un código estén ubicadas en su eje pero no en el de los otros códigos, para no interferir con la comunicación de otro dispositivo. Las matrices de Walsh tienen la propiedad fundamental de que cada fila de la matriz representa un lenguaje que es ortogonal con respecto a los lenguajes de todas las otras líneas, y que su inversa (es decir, intercambiar uno con ceros, y viceversa, luego pasar 1 1 0 0 0 0 1 1 por ejemplo) sigue siendo una parte del lenguaje. En las matrices Walsh, el dígito-1 en lugar de 0 se usa para distinguir el mensaje inverso del uno. Es útil por razones computacionales, pero desde un punto de vista informático representan la misma información (es decir, el mensaje opuesto a 1). Otra ventaja muy útil de las matrices Walsh es que son particularmente fáciles de "aumentar" si nuestros dispositivos aumentan como potencias de dos. En el párrafo anterior, de hecho, se vio que la matriz H 1 tiene dentro de ella solo un 1, mientras que la matriz H 2 son todos 1, excepto el último que es - 1. Inductivamente, es suficiente, de hecho, tomar la matriz de orden inmediatamente inferior, ponerlo en los primeros 2 campos y en el tercero como es e invertirlo en el cuarto. También en el párrafo anterior vemos por lo tanto la generación "obvia" de la matriz H 4 que se genera por 3 matrices "normales" H 2 más la cuarta invertida (y existe la fórmula para generar grandes matrices Walsh al gusto). El principal problema con el uso de este tipo de matrices es que crecen como potencias de dos. Si en cambio tenemos solo 9 dispositivos (por lo que no una potencia de dos) la cuestión se complica. De hecho, con este sistema la única forma es usar 16 códigos, asignar 9 y dejar que los otros 7 códigos permanezcan sin usar (lo que corresponde a tener 7 dispositivos que de hecho no se comunican). Por mucho que este sistema funcione, no es barato desde un punto de vista computacional ya que a menudo los dispositivos involucrados no son unos pocos puñados, sino que son varios y, por ejemplo, la diferencia entre 256 y 512 no es pequeña. Los estudios sobre estos tipos de matrices han llevado a los siguientes resultados: la pregunta en este punto es: ¿cómo se utilizan estos tipos de matrices en el protocolo CDMA? En primer lugar, recordamos que cada línea tiene la propiedad fundamental de que su inversa sigue siendo una palabra de lenguaje. Esta vez por simplicidad usaremos 4, luego usaremos la matriz vista anteriormente, o lo siguiente: 4 códigos estarán disponibles: supongamos entonces por ejemplo: luego agregas las palabras transmitidas (luego solo las del primer, segundo y cuarto dispositivo ya que el tercero no transmitió) simplemente poniéndolas una encima de la otra y agregando por columna, luego: transmitido, es: 1, 1, - 1, 3 Por lo tanto, para cada código tenemos 3 opciones: transmitir el código dado por la matriz de referencia, transmitir su inversa o no transmitir. Explicamos el uso práctico a través de un ejemplo de aplicación, nuevamente usando algunos dispositivos. A primera vista parece imposible rastrear este problema hasta el mensaje transmitido. En cambio, dado que el proveedor sabe cuántos dispositivos están conectados a la red y qué código está utilizando para comunicarse, es suficiente que la unidad de control verifique si los dispositivos que administra han transmitido algo o no cada vez que llega una señal. Si en cambio el valor encontrado hubiera sido negativo, la palabra transmitida habría sido la inversa, por lo que (- 1, - 1, - 1, - 1). Si el valor era 0, entonces el dispositivo no transmitiría. Vamos a comprobar que realmente es así: vamos a tratar de ver si podemos deducir lo que otros dos dispositivos también transmitieron, el segundo (que transmitió la palabra inversa) y el tercero que no transmitió nada. Este sistema funciona muy bien ya que no requiere cálculos complejos y ya que la multiplicación y la suma son las operaciones básicas de cualquier ordenador por lo que son las que se implementan lo más rápido posible. Este sistema es mucho más alto que los anteriores por dos razones fundamentales: el único truco que debe seguirse para que el sistema funcione correctamente, es calibrar la intensidad de la señal del dispositivo de acuerdo con la distancia desde el panel de control. Si la distancia es alta, la potencia será mayor y viceversa. De esta manera la central recibe las señales todas con la misma potencia y las señales se suman correctamente en la forma vista anteriormente, de lo contrario las señales más cercanas tendrían una mayor influencia que las demás en el resultado final. La unidad de control, por lo tanto, con su señal de potencia fija de referencia, es la única estación que puede descifrar los mensajes ya que la señal de los dispositivos está calibrada de acuerdo con la distancia de ella y de nadie más.

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