Matriz de cambio básica

En matemáticas, y más precisamente en álgebra lineal, la base o matriz de cambio de coordenadas es una matriz cuadrada que codifica el cambio de una base de un espacio vectorial.

Ambos V {\displaystyle V} un espacio vectorial de dimensiones finitas en un campo K {\displaystyle K} . Se define la matriz de cambio de coordenadas desde la base B {\displaystyle B} en la base C {\displaystyle C} la única matriz C B {\displaystyle _ {C}^{B}} cuyas columnas son las coordenadas de los vectores b Me {\displaystyle \ mathbf {b} _{i}} relativo a vectores base C {\displaystyle C} : Usted tiene entonces: en particular, el matriz C B {\displaystyle _ {C}^{B}} es la matriz asociada con la función de identidad en V {\displaystyle V} en comparación con lo básico B {\displaystyle B} en el ámbito y C {\displaystyle C} en el codominio Ser B {\displaystyle B} y C {\displaystyle C} dos bases de V {\displaystyle V} y son b 1 , b 2 , … , b y {\displaystyle \mathbf {B} _{1}, \mathbf {B} _{2}, \dots, \mathbf {B} _{n}} los vectores que componen la base B {\displaystyle B} . Si K = R {\displaystyle K = \ mathbb {R} } es el campo de los números reales, la matriz de cambio de base es útil para comprobar si dos bases tienen la misma orientación: esto sucede precisamente cuando el determinante de la matriz de cambio de base que las Conecta es positivo.

1 Supongamos que tenemos en el plano cartesiano el vector u {\displaystyle u} de coordenadas: son entonces ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle (v_{1}, v_{2})} y ( w 1 , w 2 ) {\displaystyle (w_{1}, w_{2})} dos pares de vectores que en el espacio euclidiano R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} identificar la base, respectivamente B {\displaystyle B} y la base C {\displaystyle C} fechas de: la pareja ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle (v_{1}, v_{2})} puede representar cualquier vector del plano cartesiano (y por lo tanto representa una base) siendo vectores no paralelos y por lo tanto independientes; lo mismo se aplica al par ( w 1 , w 2 ) {\displaystyle (w_{1}, w_{2})} Se produce fácilmente que se puede obtener el vector u {\displaystyle u} como una combinación de vectores base B {\displaystyle B} y la base C {\displaystyle C} por las siguientes ecuaciones: así, las coordenadas del vector u {\displaystyle u} en comparación con lo básico B {\displaystyle B} y C {\displaystyle C} están dadas por: Gráficamente, basado B {\displaystyle B} portador u {\displaystyle u} está dada por la suma de vectores v 1 {\displaystyle v_{1}} '' y v 2 {\displaystyle v_{2}} '': es necesario en este sentido trazar la línea que tiene la misma dirección que v 1 {\displaystyle v_{1}} y localizar el punto de intersección con la línea de paso para la punta del vector u {\displaystyle u} y paralelamente a v 2 {\displaystyle v_{2}} Así se obtiene el vector v 1 {\displaystyle v_{1}} "con módulo igual a tres veces el de v 1 {\displaystyle v_{1}} y el vector v 2 {\displaystyle v_{2}} " con módulo igual a v 2 {\displaystyle v_{2}} según la ecuación ( 1 ) {\displaystyle (1)} que se puede reescribir como: similarmente, basado en C {\displaystyle C} portador u {\displaystyle u} está dada por la suma de vectores w 1 {\displaystyle w_{1}} '' y w 2 {\displaystyle w_{2}} '': es necesario en este sentido trazar la línea que tiene la misma dirección que w 1 {\displaystyle w_{1}} y localizar el punto de intersección con la línea que pasa por el punto del vector u {\displaystyle u} y paralelamente a w 2 {\displaystyle w_{2}} Así se obtiene el vector w 1 {\displaystyle w_{1}} '', en este caso opuesto en el verso a w 1 {\displaystyle w_{1}} , con módulo igual a siete veces el último y el vector w 2 {\displaystyle w_{2}} ''con forma igual a cinco veces w 2 {\displaystyle w_{2}} según la ecuación ( 2 ) {\displaystyle (2)} que se puede reescribir como: la matriz que le permite cambiar de coordenadas a base B {\displaystyle B} a los basados C {\displaystyle C} se administra por: C = C B B {\displaystyle _{C}= _{C}^{B} _{B}} como abajo: fig Refiriéndose a la fig. 2 le permite tener una representación gráfica de las columnas de esa matriz. La primera columna da los coeficientes multiplicativos de los vectores que componen la base C {\displaystyle C} para obtener por suma geométrica el primer vector de la base B {\displaystyle B} de acuerdo con la definición dada en el párrafo introductorio. Un discurso Similar se aplica a la segunda columna. La matriz que le permite cambiar de coordenadas a base C {\displaystyle C} a los basados B {\displaystyle B} está dada por su inversa: es verdad, para demostrarlo, la identidad B = B C C {\displaystyle _{B}= _{B}^{C} _{C}} como se muestra a continuación: fig. 3 le permite tener una representación gráfica de las columnas de esa matriz. La primera columna da los coeficientes multiplicativos de los vectores que componen la base B {\displaystyle B} para obtener por suma geométrica el primer vector de la base C {\displaystyle C} de acuerdo con la definición dada en el párrafo introductorio. Un discurso Similar se aplica a la segunda columna.

La matriz de cambio básica permite codificar la relación entre diferentes bases a través de la composición de funciones. Usted tiene: se deduce que si M {\displaystyle M} es la matriz de cambio de coordenadas de B {\displaystyle B} en B ′ {\displaystyle B''} y M ′ {\displaystyle M''} es la matriz de cambio de coordenadas de B ′ {\displaystyle B''} en B {\displaystyle B} entonces se aplica la relación: en particular, la matriz M {\displaystyle M} es invertible y M ′ {\displaystyle M''} es su inversa Ser B 1 {\displaystyle B_{1}} , B 2 {\displaystyle B_{2}} y B 3 {\displaystyle B_{3}} conceptos básicos para V {\displaystyle V} y ser M Me , j {\displaystyle M_{i, j}} la matriz de cambio de coordenadas de B Me {\displaystyle B_{i}} a B j {\displaystyle B_ {j}} .

Ambos T : V → V {\displaystyle T:V\to V} un endomorfismo de un espacio vectorial V {\displaystyle V} . Ser B {\displaystyle B} y B ′ {\displaystyle B''} dos bases para V {\displaystyle V} y M {\displaystyle M} la matriz de cambio de coordenadas de B ′ {\displaystyle B''} en B {\displaystyle B} . Ambos B {\displaystyle _ {B}} la matriz de transformación de T {\displaystyle T} en comparación con la base B {\displaystyle B} y B ′ {\displaystyle _ {B''}} La matriz asociada con B ′ {\displaystyle B''} . Entonces se aplica la relación: equivalentemente, dos matrices que representan el mismo endomorfismo con respecto a diferentes bases son similares.

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