Matriz Cartan

En matemáticas, el término matriz de Cartan tiene dos significados, ambos atribuidos al matemático francés Élie Joseph Cartan (1869-1951). Este término se toma como un ejemplo de la Ley de Eponimia de Stigler : de hecho, las matrices de Cartan en el contexto de álgebras de lie fueron estudiadas inicialmente por el matemático alemán Wilhelm Killing, mientras que el llamado modelo de matanza se debe a Élie Cartan.

Una matriz de Cartan generalizada es una matriz cuadrada A = ( a Me j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} con entradas enteras tales que: la tercera condición no es independiente, ya que es una consecuencia de la primera y cuarta condición. Siempre puede elegir una matriz D {\displaystyle D} con entradas diagonales positivas. En ese caso, si S {\displaystyle S} en la descomposición anterior es una matriz definida positiva, entonces A {\displaystyle A} se llama matriz Cartan. La matriz Cartan de un álgebra de Lie simple es la matriz cuyos elementos son los productos escalares donde r Me {\displaystyle r_{i}} son las raíces simples del álgebra. La primera condición se desprende de la definición, la segunda del hecho de que para Me ≠ j {\displaystyle I \ neq j} , r j − 2 ( r Me , r j ) ( r Me , r Me ) r Me {\displaystyle r_{j} - {2 (R_{i}, R_{J}) \over (R_{i}, R_{i})} r_{i}} es una raíz que es una combinación lineal de simple raíces r Me {\displaystyle r_{i}} y r j {\displaystyle r_{j}} con un coeficiente positivo para r Me {\displaystyle r_{i}} y luego el coeficiente para r Me {\displaystyle r_{i}} no debe ser negativo Los elementos son enteros para una de las propiedades raíz. El tercero es cierto porque la ortogonalidad es una relación simétrica. Y finalmente, déjalos ser D Me j = δ Me j ( r Me , r Me ) {\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \ over (R_{i}, R_{i})}} y S Me j = 2 ( r Me , r j ) {\displaystyle s_{ij}=2 (R_{i}, R_{J})} . Dado que las raíces simples se extienden en un espacio euclidiano, la matriz S {\displaystyle S} se define como positivo.

En la teoría de las representaciones modulares, y más generalmente en la teoría de las representaciones de álgebras de dimensión finita A {\displaystyle A} que no son semisimples, una matriz Cartan se define considerando un número (limitado) de Módulos no descomponibles y escribiendo conjuntos de componentes para ellos en términos de Módulos proyectivos, obteniendo una matriz de enteros que cuentan el número de eventos de un módulo proyectivo

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