Álgebra Simétrica

En matemáticas, el álgebra simétrica en un espacio vectorial V sobre un campo K es un particular K-álgebra es conmutativa; se puede ver como una representación de' el anillo de polinomios en K, con indeterminado correspondiente a los elementos de la base de V, sin una elección de coordenadas. Se denota por S ( V ) {\displaystyle S (V)} o S y m ( V ) {\displaystyle \mathrm {Sym} (V)} .

El álgebra simétrica se puede definir a partir del álgebra tensorial T ( V ) {\displaystyle T (V)} "forzando" los elementos de V {\displaystyle V} para ser conmutativo en T ( V ) {\displaystyle T (V)} : más precisamente, S ( V ) {\displaystyle S (V)} se puede definir como el anillo cociente de T ( V ) {\displaystyle T (V)} respeto al ideal generado por los elementos a la variación de v {\displaystyle v} y w {\displaystyle w} en V {\displaystyle V} Aplicación V ↦ S ( V ) {\displaystyle V \ mapsto S (V)} se puede extender a un funtor en la categoría de K {\displaystyle K} - espacios vectoriales y el de K {\displaystyle K} - álgebra.

Álgebra simétrica S ( V ) {\displaystyle S (V)} se puede ver como un álgebra graduada: el conjunto S k ( V ) {\displaystyle S^{k} (V)} de la homogéneos de grado k es el espacio vectorial generado por el monomes de grado k en los elementos de V {\displaystyle V} ; alternativamente, S k ( V ) {\displaystyle S^{k} (V)} se puede ver como el cociente de T k ( V ) {\displaystyle T^{K} (V)} en comparación con el ideal Me ∩ T k ( V ) {\displaystyle I \ cap T^{k} (V)} , donde Me {\displaystyle I} es el ideal generado en T ( V ) {\displaystyle T (V)} de los elementos v ⊗ w − w ⊗ v {\displaystyle V \ optimes w-w \ optimes v} Espacio S k ( V ) {\displaystyle S^{k} (V)} se llama la k-ésima potencia simétrica de V {\displaystyle V} ; su tamaño es igual a donde n es el tamaño de V {\displaystyle V} en K {\displaystyle K} . Así como V ↦ S ( V ) {\displaystyle V \ mapsto S (V)} , incluso Todas las aplicaciones V ↦ S k ( V ) {\displaystyle V \ mapsto s^{k} (V)} se puede extender a un funtor. Si { v 1 , … , v y } {\displaystyle \ {v_{1}, \ ldots, v_{n}\}} es una base de V {\displaystyle V} , entonces se puede definir un isomorfismo de álgebras entre S ( V ) {\displaystyle S (V)} y el anillo de polinomios K {\displaystyle K } En n indeterminado, enviando v Me {\displaystyle v_{i}} en X Me {\displaystyle X_{i}} Por ejemplo, S 0 ( V ) {\displaystyle S^{0} (V)} es siempre isomorfo a K {\displaystyle K} , mientras S 1 ( V ) {\displaystyle S^{1} (V)} es siempre isomorfo a V {\displaystyle V} . En particular, esto muestra cómo el anillo de polinomios puede ser considerado como un álgebra simétrica sobre la que un sistema de coordenadas (la base { v 1 , … , v y } {\displaystyle \ {v_{1}, \ ldots, v_{n}\}} ) y viceversa, S ( V ) {\displaystyle S (V)} puede ser considerado como una versión libre de coordenadas de K {\displaystyle K } . De esto también se deduce que el anillo de polinomios es isomórfico canónicamente al álgebra simétrica del Dual de V {\displaystyle V} .

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