Álgebra graduada de lie

En matemáticas, se dice que un álgebra de Lie se gradúa cuando tiene una gradación compatible con los corchetes de lie. En otras palabras, es un álgebra de Lie que es un álgebra graduada no asociativa dentro del marco de la operación de conmutación. Este concepto se extiende en la superálgebra de Lie graduada, donde se requiere que los paréntesis de Lie no sean necesariamente anticommutativos.

En la forma más elemental, un álgebra de Lie graduada es un álgebra de lie ordinaria Gram {\displaystyle {\mathfrak {g}}} con una gradación de los espacios vectoriales: tal que los paréntesis de Lie, con respecto a esta gradación son:

Superalgebra de lie graduada en un campo o en un anillo k (que tiene características distintas de 2) y definida como un espacio vectorial calificado E en k, con una operación bilineal: que satisface las siguientes propiedades:

En matemáticas y física teórica una superalgebra es un álgebra Z de 2 grados. Es decir, es un álgebra en un anillo o campo conmutativo que se descompone en una pieza "par" e "impar" , es decir, es un operador multiplicativo que respeta la separación en piezas "par" e "impar" . El prefijo super-proviene de la teoría de la supersimetría en el campo de la Física Teórica. Las Superalgebras y sus representaciones, supermodulos, proporcionan un marco algebraico para la formulación de la supersimetría. El estudio de tales objetos a veces también se llama álgebra Super linear. Sea K un anillo conmutativo fijo; en la mayoría de las aplicaciones K es un campo como R O C. Una superálgebra en K es un módulo K A con una descomposición en una suma directa: con una multiplicación bilineal A × A → a tal que: con índices que tienen módulo 2.

Un álgebra de la mentira es una estructura que consiste en un espacio vectorial g sobre un campo F (por ejemplo números reales, Números complejos, o un campo que está terminado), y un operador binario : g × G → g, llamado producto de la mentira, que satisface las siguientes propiedades: tenga en cuenta que la primera y tercera propiedades juntas implican a = − para todo x, y en g, es decir, la antisimetría del producto de la mentira: viceversa la antisimetría implica propiedad 3 Si F tiene característica distinta de 2 En matemáticas, un álgebra de Lie (llamado así por el matemático Sophus Lie) es una estructura algebraica utilizada principalmente para el estudio de objetos geométricos analíticos como grupos de Lie y variedades diferenciables. También tenga en cuenta que en general el producto Lie no es asociativo, es decir, z] no es necesariamente igual a].

En matemáticas y física teórica una superalgebra de lie es una generalización del álgebra de Lie con la inclusión de un álgebra Z de 2 grados (álgebra graduada). Las superalgebras de Lie son importantes en la física teórica, donde se utilizan para describir la formulación matemática de la supersimetría. Formalmente, una Superalgebra Lie es un álgebra graduada Z 2 (Z 2-álgebra graduada) no asociativa, o una superalgebra, es decir, un anillo es conmutativo (típicamente R O C) se define en un producto, llamado superbracket Lie o supercommutatore, que satisface las siguientes dos condiciones (similares a los axiomas habituales del álgebra de Lie con contenido de alcohol): 1) super anti - simetría : 2) La Super identidad de Jacobi: donde x, y Y z son puros Z 2 - clasificación En la mayoría de estas teorías, los elementos pares de la superálgebra corresponden a los bosones, y los elementos impares a los fermiones (pero esto no siempre es cierto, por ejemplo, en la supersimetría brst es lo contrario). Por lo tanto / / x / denota el grado de x (0 o 1). El grado de es la suma de los grados de x E y con módulo 2. A veces se añaden axiomas: a) = 0 {\displaystyle = 0} para / x / = 0 (puesto que el número 2 es invertible esta propiedad sigue automáticamente); y b) , x ] = 0 {\displaystyle, x] = 0} para / x / = 1 (puesto que el número 3 es invertible esta propiedad sigue automáticamente).

En Física Teórica, un álgebra de supersimetría (o álgebra de SUSY) es un álgebra de simetría que incorpora supersimetría, es decir, una relación entre bosones y fermiones. En un mundo supersimétrico, cada bosón tiene un fermión compañero de igual masa en reposo y cada fermión tiene un bosón compañero de igual masa en reposo. Los campos bosónicos cambian, mientras que los campos fermiónicos cambian; con el fin de relacionar los dos tipos de campos en un solo álgebra, se utiliza la introducción de un "álgebra graduada" según la cual se requiere que los elementos pares sean bosones y los elementos impares sean fermiones. Tal álgebra se llama superalgebra de lie. Por otro lado, el teorema espín - estadístico muestra que los bosones tienen espín entero, mientras que los fermiones tienen espín semi - entero. En consecuencia, los elementos impares en un álgebra de supersimetría deben tener espín semi-entero, lo que contrasta con las simetrías más tradicionales en la física clásica. En simetrías físicas que están asociadas con un álgebra de Lie uno puede construir sus representaciones, por lo que uno también puede tener representaciones de una superalgebra de lie. Cada álgebra de lie está ligada a un grupo de Lie de manera similar cada superalgebra de lie está ligada a un supergrupo de lie.

En Física Teórica, el álgebra de super - Poincaré es una extensión del álgebra de Poincaré que incluye supersimetría, es decir, que incluye una relación entre bosones y fermiones. La extensión supersimétrica más simple del álgebra de Poincaré contiene dos espinores de Weyl que satisfacen la siguiente relación anti-conmutación: y todas las relaciones anti-conmutación entre Q α , {\displaystyle Q_ {\alpha }, } y el P μ {\displaystyle P_ {\mu }} apestan. Donde el P μ {\displaystyle P_ {\mu }} son los generadores de las traducciones y de la σ μ {\displaystyle \ sigma ^{\mu }} son las matrices de Pauli.

En física de partículas, de hecho, en relación con una transformación supersimétrica, cada fermión tiene un superpartner bosónico y cada bosón tiene un superpartner fermiónico. Los pares han sido nombrados socios supersimétricos, y las nuevas partículas se llaman spartner, superpartner o sparticles. Más precisamente, el superpartner de una partícula con espín s {\displaystyle S} ha spin algunos ejemplos se muestran en la tabla. Ninguno de ellos ha sido identificado hasta ahora experimentalmente, pero se espera que el Gran Colisionador de Hadrones del CERN en Ginebra pueda realizar esta tarea a partir de 2010, después de su puesta en marcha en noviembre de 2009. Por el momento solo hay evidencia indirecta de la existencia de supersimetría. Dado que las superpartenas de las partículas del Modelo Estándar aún no se han observado, la supersimetría, si existe, debe ser necesariamente una simetría rota, de modo que las superpartenas pueden ser más pesadas que las partículas correspondientes en el modelo estándar. La carga asociada (es decir, el generador) de una transformación de supersimetría se llama sobrealimentación. La teoría explica algunos problemas no resueltos que afligen al modelo estándar, pero introduce otros. Fue desarrollado en la década de 1970 por el grupo de investigadores de Jonathan I. Segal en el MIT; simultáneamente, Daniel Laufferty de la "Universidad de Tufts" y los físicos teóricos soviéticos Izrail'' Moiseevič Gel''fand y Likhtman teorizaron independientemente la supersimetría. Aunque nació en el contexto de las teorías de cuerdas, la estructura matemática de la supersimetría se ha aplicado posteriormente con éxito a otras áreas de la física, desde la mecánica cuántica hasta la estadística clásica y se considera una parte fundamental de muchas teorías físicas. En teoría de cuerdas, la supersimetría tiene la consecuencia de que los modos de vibración de las cuerdas que dan lugar a fermiones y bosones necesariamente ocurren en pares.

Teoría de las álgebras

Estructuras algebraicas

Supersimetría

Superálgebra

En matemáticas y física teórica una superalgebra es un álgebra Z de 2 grados. Es decir, es un álgebra en un anillo o campo conmutativo que se descompone en una ...
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