Lema de Itō

En matemáticas, el lema Itō (" fórmula Itō ") se utiliza en el cálculo estocástico para calcular el diferencial de una función de un tipo particular de proceso estocástico. Encuentra Amplio uso en las matemáticas financieras. El lema es una extensión del desarrollo serial de Taylor que se utiliza para funciones deterministas, es decir, sin un término aleatorio, y es aplicable para una función estocástica, es decir, con un término en dW. Este término no es un diferencial exacto y representa el componente Aleatorio de una variable aleatoria. dW es la abreviatura de un proceso de Wiener, utilizado para representar el movimiento de partículas en la teoría cinética de gases. En pequeñas fracciones a gusto de la variable temporal, una magnitud de este tipo manifiesta sin embargo una alta variabilidad. Del lema Itō obtenemos la integral Itō, que extiende y generaliza la integral de Riemann para funciones estocásticas. A diferencia de la integral de Riemann, no tiene significado geométrico, no es un área.

Ambos x ( t ) {\displaystyle x (t)} un proceso Itō (o proceso Wiener generalizado); en otras palabras, x ( t ) {\displaystyle x (t)} satisface la ecuación diferencial estocástica: dejar también ser una función f {\displaystyle F} , teniendo segunda derivada continua. Entonces:

A través de una expansión de la serie Taylor de f ( x ( t ) , t ) {\displaystyle \ f (x (t), T)} usted consigue: reemplazar d x {\displaystyle dx} desde el SDE anterior tienes: el desarrollo serial de Taylor generalmente se trunca al primer orden; ya esto permite una buena aproximación de la función de inicio. En este caso, debe considerarse que los Términos en d W 2 {\displaystyle Dw^{2}} van como esos en d t 1 {\displaystyle dt^{1}} ; teniendo el mismo orden de magnitud truncando al primer orden, los Términos en d W 2 {\displaystyle Dw^{2}} . Pasando al límite para d t {\displaystyle dt} tendiendo a 0, los Términos d t d W t , d t 2 {\displaystyle dtdW_{t}, dt^{2}} desaparecer. De hecho, en los límites infinitesimales (a cero) prevalece la potencia con exponente más bajo, que llega a cero más lentamente que los otros términos. Para contras ( d W t ) 2 {\displaystyle (dW_{t})^{2}} tiende a d t {\displaystyle dt} ; esta última propiedad se puede probar probando que: sustituyendo estos resultados en la expresión para d f {\displaystyle df} usted consigue: según sea necesario. Una demostración formal de este resultado requiere la definición de una integral estocástica.

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