La transformación de Householder

En matemáticas, una transformación de cabeza de familia en un espacio tridimensional es el reflejo de vectores con respecto a un plano que pasa por el origen. En general, en un espacio euclidiano es una transformación lineal que describe una reflexión con respecto a un hiperplano que contiene el origen. La transformación de Householder fue introducida en 1958 por el matemático estadounidense Alston Scott Householder (1905 - 1993). Esto se puede usar para obtener una factorización QR de una matriz.

El reflejo de un punto x ¿Cómo puedo hacerlo?} } con respecto a un hiperplano, definido como ortogonal a un Verser u Método de codificación de datos:} } , está dada por: where ⟨ , ⟩ ¿Por qué? } denota el producto escalar euclidiano, análogo al producto entre matrices, que define la distancia de x ¿Cómo puedo hacerlo?} } desde el hiperplano, mientras u T ¿Qué puedes encontrar en Neodigit}} denota la transposición (la transposición conjugada en el caso complejo) del vector u Método de codificación de datos:} } (destinado como una matriz de columna única) Es una transformación lineal que está representada por The Householder Matrix: donde Me Yo} es la matriz de identidad. La matriz de propietarios tiene las siguientes propiedades: Las matrices de propietarios son un caso especial de matrices elementales.

El cabeza de familia Matrix U ¿Por qué?} se puede usar para deshacer todos los componentes de un vector excepto el primero, de la siguiente manera. Son: y usted define: usted tiene, para un U = Me − λ v v T ¿Cómo puedo hacerlo?}} con λ {\displaystyle \lambda } que: de hecho, definiendo 1 λ = α {\displaystyle {\frac {1} {\lambda }} = \ alpha } donde tienes:

Si y 1 ¿Cómo puedo obtener más información?}} es el vector ( 1 , 0 , … , 0 ) T ¿Qué puedes encontrar en Neodigit}} , considere: dada la matriz de cabeza de familia Q {\displaystyle Q} , como se indicó anteriormente, tiene: y este resultado se puede usar para transformar gradualmente una matriz A Acerca de Nosotros} tipo más × y {\displaystyle m \ times n} en la forma triangular superior : primero multiplicar A Acerca de Nosotros} para el cabeza de familia Matrix Q 1 Método de codificación de datos:}} obtenido eligiendo x ¿Cómo puedo hacerlo?} } por su primera columna Ambos x ¿Cómo puedo hacerlo?} } un m arbitrario - vector de columna dimensional de longitud | α | Método de codificación de datos: / } (para la estabilidad numérica del método se supone que α {\displaystyle \ alpha } tiene el mismo signo que la primera coordenada de x ¿Cómo puedo hacerlo?} } ). Esto da como resultado una matriz Q A {\displaystyle QA} que tiene ceros en la columna de la izquierda, excepto solo para la primera fila: este cambio se puede repetir para A ′ Por supuesto.} por medio de una matriz de vivienda Q 2 Método de codificación de datos:}} . Como quieres que sea real, para operar Q 1 A ¿Qué puedes encontrar en Neodigit} en lugar de A ′ Por supuesto.} es necesario ampliar esto en la parte superior izquierda, llenándolo con entradas 1, o en general: después t {\displaystyle t} de este proceso, con t = minuto ( más − 1 , y ) Método de codificación de datos:)} , se trata de: que es una matriz triangular superior Tenga en cuenta que Q 2 Método de codificación de datos:}} ser más pequeño que Q 1 Método de codificación de datos:}} . Por lo tanto, con A = Q R Acerca de Nosotros} es una descomposición QR de A Acerca de Nosotros} . Este método es numéricamente estable.

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