La fórmula de Jacobi

De hecho, el determinante de una matriz puede considerarse una función polinómica: por lo tanto, es diferenciable y su diferencial puede expresarse mediante la fórmula de Jacobi: donde cof T ⁡ ( A ) {\displaystyle \ operatorname {cof} ^{T} (A)} denota la transposición de la matriz del cofactor (también llamada la matriz añadida y denotada como adj ⁡ ( A ) {\displaystyle \ operatorname {adj} (A)} ), mientras tr {\displaystyle \ operatorname {tr} } es la pista En matemáticas, la fórmula de Jacobi, llamada así por el matemático C. G. J. Jacobi, expresa la derivada del determinante de una matriz A {\displaystyle A} a través de la matriz de cofactores (o matriz de complementos algebraicos) de A {\displaystyle A} y la derivada de A {\displaystyle A} propio. Así que la derivada con respecto a t {\displaystyle t} del determinante se escribe: .

La expansión de LaPlace para el determinante de una matriz A {\displaystyle A} se puede escribir como: donde la suma se puede girar en cualquier columna Me {\displaystyle i} de la matriz. Calcular ∂ F / ∂ A Me j {\displaystyle \ partial F / \ partial a_{ij}} se aprovecha de la arbitrariedad índice Me {\displaystyle i} en el término correcto de la fórmula de LaPlace, que se puede elegir para coincidir con el primer índice de ∂ / ∂ A Me j {\displaystyle \ partial / \ partial a_{ij}} así que con la regla del producto: si un elemento de A Me j {\displaystyle A_{ij}} y un cofactor a d j T ( A ) Me k {\displaystyle \ mathrm {adj} ^{\rm {t}} (A) _ {ik}} de un elemento de A Me k {\displaystyle A_{ik}} están en la misma fila (o columna), entonces el cofactor no es una función de A Me j {\displaystyle A_{ij}} desde el cofactor de A Me k {\displaystyle A_{ik}} se expresa por términos que no están en su propia fila (o columna) Por lo tanto, el determinante puede expresarse como una función F {\displaystyle F} de los elementos de la matriz: para que usando la regla de la cadena veas que su diferencial es: con la suma que afecta a todos los y × y {\displaystyle n \ times n} elementos de la matriz. Así que la derivada cancela: y luego: todos los elementos de A {\displaystyle A} son mutuamente independientes: donde δ j k {\displaystyle \ delta _ {jk}} es el Kronecker delta. Entonces: de lo que sigue: considere ahora el lema: que sigue de: y explotando el hecho de que: usando el lema uno finalmente llega a la fórmula de Jacobi: .

Matrices cuadradas

Matriz cuadrada

En matemáticas, especialmente en álgebra lineal, Una matriz se llama cuadrado si tiene un número igual de filas y columnas, llamado el orden de la matriz. De lo...

Matriz De Hurwitz

En matemáticas, una matriz cuadrada se llama matriz de Hurwitz si todos los valores propios tienen una parte real negativa. Para cada valor propio λ ...

Ecuaciones diferenciales

Esta página se basa en el artículo de Wikipedia: Fuente, Autores, Licencia Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual.
This page is based on the Wikipedia article: Source, Authors, Creative Commons Attribution-ShareAlike License.
contactos
Política de privacidad , Descargos de responsabilidad