Identidad de Lagrange

En álgebra, la identidad de LaGrange es la identidad cuadrática que involucra el producto vectorial: que se aplica a cada par de conjuntos {a 1, a 2, . , a N } y {b 1, b 2, . , b N } de números reales o complejos (o, más generalmente, de elementos de un anillo conmutativo). Esta identidad es una forma especial de identidad Binet-Cauchy. Para los números reales, la identidad se puede escribir en una notación más compacta utilizando el producto escalar, donde a y b son n - vectores dimensionales cuyos componentes son números reales. Esta identidad se puede extender al caso complejo, ya que dado que la parte derecha de la identidad es claramente no negativa, implica la desigualdad de Cauchy - Schwarz en el espacio euclidiano finito - dimensional ℝ n y su contraparte compleja ℂ n.

Usando el producto externo, la identidad de Lagrange se puede escribir de la siguiente manera: Por lo tanto, se puede ver como una fórmula que da la longitud del producto externo de dos vectores, que es el área del paralelogramo que describen, en términos del producto escalar de dos vectores, como

En las tres dimensiones, la identidad de Lagrange afirma que el cuadrado del área de un paralelogramo en el espacio es igual a la suma de los cuadrados de sus proyecciones dentro del sistema de coordinación cartesiano. Algebraicamente, si a y b son vectores en ℝ 3 de longitud | a | y | b | , entonces la identidad de Lagrange se puede escribir en términos del producto vectorial y el producto escalar : Usando la definición de ángulo basado en el producto escalar, la parte izquierda es donde θ es el ángulo formado por los vectores a y b . Se sabe que el área del paralelogramo de los lados | A | e / B / E del ángulo θ es, de acuerdo con la geometría elemental, entonces la parte izquierda de la identidad de LaGrange es el cuadrado del área del paralelogramo. El producto vectorial que aparece en el lado derecho se define porque es un vector cuyos componentes son iguales en magnitud a las áreas de las proyecciones de paralelogramo dentro de los planos YZ, zx y xy, respectivamente.

Identidades matemáticas

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