Funcionamiento interno

En matemáticas, una operación interna con n argumentos (O N - Aire) en un conjunto X {\displaystyle X} es una función que cada n-upla de X y {\displaystyle X^{n}} asociar un elemento del mismo X {\displaystyle X} .

Se llama operación interna en X {\displaystyle X} función ∗ {\displaystyle *} del producto cartesiano X y {\displaystyle X^{n}} a valores en X {\displaystyle X} : Equivalentemente, si m ∈ Y {\displaystyle m \ in \ mathbb {N} } , se llama operación interna en X {\displaystyle X} función ∗ {\displaystyle *} : si X 1 = … = X m − 1 = X m = X {\displaystyle X_{1} = \ ldots = x_{m-1} = x_{m} = X} Ambos X {\displaystyle X} un conjunto no vacío y ser y ∈ Y {\displaystyle n \ in \ mathbb {N} } . Si y = 2 {\displaystyle n = 2} , la operación se llama operación binaria interna en X {\displaystyle X} y la imagen del par de puntos ( x , y ) {\displaystyle (x, y)} se denota preferiblemente con la notación de operación x ∗ y {\displaystyle x * y} en lugar de con Notación funcional ∗ ( x , y ) {\displaystyle *(x, y)} . Un conjunto no vacío equipado con una sola operación interna se dice que tiene magma o estructura grupoide. La razón principal por la que puede ser necesario verificar que una operación arbitraria ∗ {\displaystyle *} interna o no en un set X {\displaystyle X} (puro arbitrario siempre y cuando no vacío) radica en el hecho de que solo si la operación es interna el par ( X , ∗ ) {\displaystyle (X, *)} se puede considerar como estructura algebraica. Alternativamente, se puede decir que la condición necesaria para una pareja ( X , ∗ ) {\displaystyle (X, *)} sea una estructura algebraica que la operación ∗ {\displaystyle *} verificar la propiedad de cierre en X {\displaystyle X} . Una operación no Interna en un set X {\displaystyle X} se llama operación externa.

La operación de suma generalmente denotada con + es interna en el conjunto de números naturales y por lo tanto es en enteros, racionales, reales y también complejos. Del mismo modo, el producto es el funcionamiento interno en cada uno de los mismos conjuntos. Las operaciones de máximo común divisor y mínimo común múltiple son operaciones internas en el conjunto de números naturales. Las operaciones de unión e intersección son internas al conjunto de partes de un conjunto. El producto vectorial es una operación interna en el conjunto de revés de números reales: el producto escalar es una operación externa en el conjunto de revés de números reales: tiene de hecho valores en el campo real en el que se define el espacio vectorial R 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}} y no en el propio espacio vectorial. El producto de un vector para un escalar sigue siendo una operación externa al conjunto de revés de números reales: porque si lo piensas como una función tienes que incluso en este caso los conjuntos A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} y C {\displaystyle C} no son los tres iguales. El producto mixto: finalmente sigue siendo una operación externa (ternaria) en R 3 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{3}} .

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