Función armónica

En Análisis Matemático, una función armónica es una función diferenciable hasta el segundo orden f {\displaystyle F} que satisface la ecuación de Laplace : es decir, el conjunto de funciones armónicas constituye el núcleo del operador de Laplace. En el campo de la teoría del potencial, las funciones armónicas a menudo se llaman funciones potenciales, o potenciales, y se utilizan en Física e ingeniería, por ejemplo, para referir el estudio de un campo vectorial en tres dimensiones al caso de un campo escalar en una dimensión. En este contexto, una función armónica escalar se llama potencial escalar, mientras que una función armónica vectorial se llama potencial vectorial. Las funciones armónicas son de particular importancia en el análisis complejo, ya que si una función armónica definida en un espacio determinado se transforma con un mapa conforme en otro espacio, entonces tal transformación es armónica. Por esta razón, cualquier función definida con un potencial puede sufrir una transformación conforme, y aún permanece ligada a un potencial.

Función f : U → R {\displaystyle F \ colon U \ to \ mathbb {R} } definido en un dominio U ⊂ R y {\displaystyle U \ subconjunto \ mathbb {r} ^{n}} se dice armónico si es de clase C 2 {\displaystyle C^{2}} y satisface la ecuación de Laplace : para la linealidad del operador de LaPlace, la suma de dos funciones armónicas y el producto de ellas para un escalar devuelve otra función armónica Por ejemplo, la función f ( x , y ) = y k x sin ⁡ ( k y ) {\displaystyle F (X, y) = e^{kx} \ sin (ky)} , definido en cualquier Abierto de R 2 {\displaystyle \ mathbb {R} ^{2}} es armónico. De hecho: y la suma de las segundas derivadas parciales es siempre nada.

Cada función armónica satisface la propiedad del valor medio. Establecer un dominio U {\displaystyle U} y ser f ∈ C 2 ( U ) {\displaystyle F \ in C^{2} (U)} una función armónica. Indicar ω y {\displaystyle \ omega _ {n}} el volumen de la esfera unitaria en R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Aplicación del teorema de divergencia al campo vectorial ∇ f {\displaystyle \ nabla f} obtienes: pasando de coordenadas cartesianas ( x , y ) {\displaystyle (x, y)} a los polares ( r , ω ) , {\displaystyle (R, \ omega), } con: si tienes f ( x ) = f ( y + r ω ) {\displaystyle F (x)=f (y+R \ omega)} , y se produce: calcular la Integral de derivado normal de f {\displaystyle F} y la escala en comparación con ω {\displaystyle \ omega } obtienes: y puedes intercambiar derivada e integral: considerando la integral de superficie: se sigue que para cada ρ {\displaystyle \ rho } usted tiene: y pasando al límite para ρ → 0 {\displaystyle \rho \ to 0} se obtiene la primera igualdad Entonces para cada esfera cerrada de radio R {\displaystyle R} y centro y {\displaystyle y} denotado por B = B R ( y ) {\displaystyle B = b_{R} (y)} , se aplica la siguiente igualdad: además, también se aplica: ρ ∈ ( 0 , R ) {\displaystyle \rho \in (0, R)} . El segundo se obtiene integrando con respecto a ρ {\displaystyle \ rho } .

El principio de máximo establece que los máximos y mínimos estrechos de una función armónica, si los hay, se asumen en el borde. Más precisamente, considere f : U → R {\displaystyle f:U\to \ mathbb {R} } una función armónica, donde U {\displaystyle U} es un dominio abierto y conectado de R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . Supongamos que existe x 0 {\displaystyle x_{0}} en U {\displaystyle U} tal que f ( x ) ≤ f ( x 0 ) {\displaystyle F (X) \ leq f (x_{0})} para cada x ∈ U {\displaystyle x \ in U} . Entonces f {\displaystyle F} es constante. La demostración utiliza la propiedad del valor medio. Ambos M := sup f {\displaystyle M:=\sup f} y considerar el todo U M := f − 1 ( M ) {\displaystyle U_{M}: = F^ {- 1} (M)} . Por hipótesis, no es vacío; además, por la continuidad de f {\displaystyle F} , es cerrado (en topología inducida) como contraimagen de un conjunto cerrado. Considerando la función f − M {\displaystyle f-M} , es negativo y armonioso: usted elige una pelota B R ( x 0 ) ⊂ U {\displaystyle b_{R} (x_{0}) \ subconjunto U} de radio R {\displaystyle R} y aplicar la propiedad del valor medio a f − M {\displaystyle f-M} . } Entonces B R ( x 0 ) ⊆ U M {\displaystyle B_{R} (x_{0}) \ subseteq U_{M}} y U M {\displaystyle U_{M}} está abierto en U {\displaystyle U} ya U M ⊆ ⋃ x 0 ∈ U M B R ( x 0 ) ⊆ U M {\displaystyle U_{M} \ subseteq \ bigcup _ {x_{0} \ in U_{m}} B_{R} (x_{0}) \ subseteq U_{M}} (o U M = ⋃ x 0 ∈ U M B R ( x 0 ) {\displaystyle U_{m}= \ bigcup _ {x_{0} \ in U_{m}} B_{R} (x_{0})} , uniendo conjuntos abiertos) Se obtiene: dado que el integrando no es positivo, la igualdad se satisface si y solo si f ( x ) = M {\displaystyle F (x) = M} en el baile B R ( x 0 ) . {\displaystyle b_{R} (x_{0}). U M {\displaystyle U_{M}} a continuación, se abre y se cierra simultáneamente en U {\displaystyle U} pero, desde U {\displaystyle U} está conectado, U {\displaystyle U} y ∅ {\displaystyle \varnothing } son los únicos subconjuntos abiertos y cerrados. Se sigue U M = U {\displaystyle U_{M} = U} .

Entonces deja que el u ( x , y ) {\displaystyle u (x, y)} que el v ( x , y ) {\displaystyle v (x, y)} son funciones armónicas de las dos variables x {\displaystyle x} y y {\displaystyle y} : De hecho, basta con calcular las segundas derivadas de las ecuaciones de Cauchy-Riemann y compararlas, recordando que: tienes: sumando la primera y la última y la segunda y la tercera y usando el teorema de Schwarz sobre la invertibilidad de derivadas parciales: tienes para que le des dos funciones u {\displaystyle u} y v {\displaystyle v} armónicos en un Abierto D {\displaystyle D} que cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann entonces v {\displaystyle v} se llama un armónico conjugado de u {\displaystyle u} pero lo contrario no es cierto En el caso de funciones variables complejas, el concepto de función armónica entra como un teorema particular satisfecho por funciones analíticas. Que sea de hecho: una función analítica. Una consecuencia de este teorema es que una función es analítica en un D {\displaystyle D} del plan complejo si y solo si v {\displaystyle v} es el conjugado armónico de u {\displaystyle u} . Esto significa que una función analítica puede construirse a partir de la asignación de su parte real u ( x , y ) {\displaystyle u (x, y)} y conseguir su parte imaginaria a menos de una constante. Esta función es armónica ya que: querer encontrar el armónico conjugado v ( x , y ) {\displaystyle v (x, y)} , usando condiciones de Cauchy-Riemann u x = v y {\displaystyle u_{x} = v_{y}} usted tiene: usted puede integrar v y {\displaystyle v_{y}} mantener la variable fija x {\displaystyle x} (considerándolo como una constante): donde ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} es una función arbitraria dependiente de x {\displaystyle x} Para utilizar la condición de Cauchy - Riemann u y = − v x {\displaystyle u_{y}= - v_{x}} a la deriva v ( x , y ) {\displaystyle v (x, y)} obtenido por integración con x {\displaystyle x} : y se calcula la derivada u y {\displaystyle u_{y}} desde la función inicial: igualando el valor de ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} : desde donde por integración: donde C {\displaystyle C} es la constante de integración Para un ejemplo de cómo calcular el armónico conjugado de una función u ( x , y ) {\displaystyle u (x, y)} considere la función u ( x , y ) = y 3 − 3 x 2 y {\displaystyle u (X, y) = Y^{3} - 3x^{2} y} . Tenemos por lo tanto: es decir, hemos obtenido el conjugado armónico de u ( x , y ) {\displaystyle u (x, y)} a menos que una constante C {\displaystyle C} . Así la función: es una función analítica igual a f ( z ) = Me ( z 3 + C ) {\displaystyle F (z) = i (z^{3} + C)} .

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