Fórmula para números primos

Una fórmula para primos es una expresión que permite distinguir dentro del marco de enteros positivos todos los primos y solo ellos. La búsqueda de tal fórmula ha sido el objetivo de muchos estudiosos, tanto profesionales como aficionados, y hasta ahora no se conoce una fórmula simple de este tipo. Por otro lado, en las últimas décadas el estudio de primes ha utilizado cada vez más sistemáticamente actividades experimentales realizadas con el ordenador. Para tener una idea del problema, es bueno aclarar que es sencillo encontrar una función o una clase de funciones que genera un infinito contable de los números primos, a partir de una variable que es un número natural o un número primo: la dificultad es encontrar una función que genera sólo los números primos, y en segundo lugar, que los creó a todos. Por ejemplo, la función donde n es un número natural, obviamente genera el conjunto de todos los números impares, y por lo tanto todos los números primos, excluyendo 2, que de esto son un subconjunto; sin embargo, también genera números compuestos, incluso si n es un número primo (por ejemplo para n = 13). Del mismo modo, todos los polinomios de primer grado y = m ⋅ x + c {\displaystyle Y = M \ cdot x + c} , donde c es un número natural y m y c son coprimos, generan números primos infinitos (teorema de Dirichlet) pero también números compuestos. La fórmula de los números primos debe tener las siguientes características, en orden de importancia : .

Se muestra que no hay ningún polinomio no constante en valores enteros que genere exclusivamente números primos: de hecho, si esto existiera (sea por ejemplo P (n)), entonces P (1)= p sería primo. Pero entonces dado que la adición de múltiplos de p no varía la congruencia módulo P. P (1 + kp)sería entonces primo y divisible por p, es decir, sería igual a p. Pero entonces P (n) asumiría infinitamente muchas veces el mismo valor, lo cual es imposible para el principio de identidad de los polinomios. Sin embargo, hay polinomios que generan muchos más primos que el promedio: un caso límite es el del polinomio que toma valores primos para cada n entre 0 y 39, mientras que para n =40 y N =41 tenemos números compuestos. En los primeros 10 millones de valores que esta función asume alrededor de 1/3 son primos,, pero todavía no se ha demostrado que hay infinitos. Todavía no se ha demostrado que cualquier polinomio de grado mayor o igual a 2 asume valores primos infinitos. El teorema de Dirichlet en cambio establece que esta propiedad se mantiene para cada polinomio de primer grado an + b, en caso de que a y b estén cubiertos. El teorema de Green-Tao mejora este resultado, afirmando que para cada k existe un L (n) = an+b que toma valores primos para n que van desde 0 a k - 1. El resultado más conocido es para k =25: donde ∏ p ≤ 23 p {\displaystyle \ prod _ {p \ leq 23} p} indica el producto de todos los primeros menos que o igual a 23.

Siguiendo la prueba del teorema de Matijasevič (solución del décimo problema de Hilbert), que tuvo lugar en 1970, se encontraron varios polinomios cuyos valores positivos son siempre números primos. Matijasevič demostró la existencia de un polinomio de 37º grado en 24 incógnitas, pero sin explicarlo; en 1976 James P. Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada y Douglas Wiens han demostrado que un entero k +2 es primo si y solo si es risolubile en los números naturales en el siguiente sistema de ecuaciones diofánticas que conducen a un polinomio en 26 variables con la propiedad deseada que, sin embargo, asume casi siempre valores negativos. Más tarde se encontraron otros polinomios con esta propiedad, logrando disminuir el número de variables o el grado, pero no ambas a la vez; la siguiente tabla muestra el progreso en este campo: .

Algunas fórmulas se basan en el uso de funciones exponenciales. El teorema de Mills establece que hay una constante θ {\displaystyle \ theta } (dicho Molinos constante) tal que (donde ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x \ rfloor } denota la parte entera de x) es siempre un número primo para cada opción de n. No se conoce una fórmula simple para calcular la constante de mills θ; las aproximaciones actualmente utilizadas se basan en la secuencia de los llamados primos de Mills (los primos generados por esta fórmula). Asumiendo la hipótesis de Riemann para real, fue posible calcular hasta 7000 dígitos decimales de esta constante. Otra fórmula, proporcionada por Wright, que genera solo primos para n ≥ 1, es (2 elevado a 2 n veces, elevado a ω) Con ω=1. 9287800.

Puede producir números primos a través de las catorce fracciones 17 91 78 85 19 51 23 38 29 33 77 29 95 23 77 19 1 17 11 13 13 11 15 14 15 2 55 1 {\displaystyle {\frac {17}{91}}\quad {\frac {78}{85}}\quad {\frac {19}{51}}\quad {\frac {23}{38}}\quad {\frac {29}{33}}\quad {\frac {77}{29}}\quad {\frac {95}{23}}\quad {\frac {77}{19}}\quad {\frac {1}{17}}\quad {\frac {11}{13}}\quad {\frac {13}{11}}\quad {\frac {15}{14}}\quad {\frac {15}{2}}\quad {\frac {55}{1}}} a partir de 2, el algoritmo es multiplicar la primera fracción que da un número entero, y repetir este proceso con el número obtenido, y así sucesivamente Los exponentes de las potencias de dos obtenidos serán precisamente los números primos, en el orden exacto de su secuencia.

Algunas fórmulas pueden derivarse del teorema de Wilson, aunque son muy ineficientes en comparación con las pruebas de primalidad en uso hoy en día. π (n), la función enumerativa de la primera (que indica, para cada n, El número de números primos menor o igual a n), También se puede calcular como la fórmula conduce a una fórmula directamente al n - ésimo número primo: siempre en el teorema de Wilson se basa en la función, donde los valores de n un entero positivo son los únicos números primos: en particular, 2 se genera muchas veces, mientras que cada uno de los primeros P sólo a partir de la n = p - 1. De hecho, si n +1 está compuesto entonces divida n! , y luego f(n) = 2; si en cambio n +1 es primo, para el teorema de Wilson n! es congruente con (n +1) - 1 módulo n + 1, y luego 2 (n!) es consistente con n-1. Así que f (n)=2+ n - 1= n +1, que es primo por hipótesis.

Hardy y Wright proporcionan la fórmula donde f (x, y) es 0 si x = y y es en cambio igual a 1 2 ⌊ 1 + x − y | x − y | ⌋ {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left\lfloor 1+{\frac {x - y}{|x - y|}}\right\rfloor } de lo contrario.

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