Formulación débil

En el marco de las ecuaciones diferenciales, en particular las ecuaciones diferenciales parciales, el estudio de la formulación débil de los problemas diferenciales clásicos, que por dualidad también se llaman problemas en forma fuerte o clásica, es de gran importancia. Resolver un problema en una forma débil significa encontrar una solución, llamada solución débil, cuyas derivadas pueden no existir, pero que sigue siendo la solución de la ecuación de alguna manera muy precisa. En la mayoría de los casos, estas son las únicas soluciones que se pueden encontrar. El concepto de solución débil está relacionado con el de derivada débil : se trata de definir la noción de derivada también para funciones integrables pero no necesariamente diferenciables.

La solución de una ecuación para ordenar derivadas parciales k {\displaystyle k} se define informalmente solución clásica o solución fuerte si es una función diferenciable hasta el orden k {\displaystyle k} - th y todas las derivadas existen y son continuas: para resolver un Pde en el sentido clásico debemos por lo tanto buscar una función lisa o al menos de clase C k {\displaystyle C^{k}} Se dice que un problema relacionado con una ecuación diferencial está bien situado Si tiene una solución, si esa solución es única y si depende continuamente de los datos proporcionados por el problema. Un problema bien situado contiene todas las características ideales para estudiar su solubilidad. La mayoría de las ecuaciones diferenciales parciales no admiten soluciones clásicas, como las ecuaciones de continuidad. Si una función no diferenciable es aceptada como una solución a un problema bien colocado, esa solución es una solución débil, también llamada una "solución generalizada" o una "solución integral" . La formulación débil de un problema proviene de la fuerte, y una solución del problema fuerte es también la solución del problema débil.

La idea básica de las formulaciones débiles es la que también llevó a la introducción en matemáticas de distribuciones, o "funciones generalizadas" : estas son funcionales lineales definidas en el espacio de funciones que consisten en las funciones llamadas funciones de prueba. El espacio de distribuciones es el espacio dual del de las funciones de prueba. Estas son funciones en un sentido más general: algunas distribuciones, si se ven como funciones, también pueden no tener consideración en el análisis tradicional (Véase, por ejemplo, el delta de Dirac). Intuitivamente, si este espacio de "prueba" es lo suficientemente grande y si tiene ciertas propiedades, es razonable pensar en reconstruir la función (generalizada) sabiendo cómo actúa en cada función de prueba del espacio. Tomando una ecuación, para encontrar una solución débil generalmente procedemos con multiplicar ambos términos por una función de prueba φ {\displaystyle \ varphi } , y luego integrar a ambos miembros a través del dominio de interés. Para poder realizar las integraciones es necesario que sea u {\displaystyle u} que φ {\displaystyle \ varphi } al menos en L 2 {\displaystyle L^{2}} (de lo contrario la integral no tiene sentido); además, para integrar incluso los productos entre los derivados es necesario que también estén en el espacio Sobolev H k {\displaystyle h^{k}} , donde k {\displaystyle k} indica el orden máximo de derivación que aparece después de descargar las derivadas de u {\displaystyle u} en φ {\displaystyle \ varphi } Por lo tanto, considere un operador diferencial lineal en un conjunto abierto W {\displaystyle W} en R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} : en el que el Multi-índice ( α 1 , α 2 , … , α y ) {\displaystyle (\alpha _{1}, \ alpha _ {2}, \dots, \alpha _{n})} rangos en un subconjunto finito de Y y {\displaystyle \ mathbb {n} ^{n}} y los coeficientes a α 1 , α 2 , … , α y {\displaystyle a_{\alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \dots, \ alpha _{n}}} son funciones suficientemente suaves de x {\displaystyle x} Ecuación P ( x , ∂ ) u ( x ) = 0 {\displaystyle P (x, \ partial) u (x) = 0} después de ser multiplicado por una función de prueba φ {\displaystyle \ varphi } suave y tener un soporte compacto en W {\displaystyle W} , puede ser integrado para las piezas α 1 + α 2 + ⋯ + α y {\displaystyle \ alpha _{1}+ \ alpha _{2}+\dots + \ alpha _{y}} por lo que viene a ser escrito como: donde el operador diferencial Q ( x , ∂ ) {\displaystyle Q (x, \ partial)} está dado por: el número: aparece ya que cada integración por partes produce una multiplicación por-1 Después de eso "descargar" los derivados (integración por partes) de la función u {\displaystyle u} acerca de la función de prueba φ {\displaystyle \ varphi } lo suficiente para poder solicitar la menor regularidad posible u {\displaystyle u} qué φ {\displaystyle \ varphi } . Operador Q ( x , ∂ ) {\displaystyle Q (x, \ partial)} es el operador añadido de P ( x , ∂ ) {\displaystyle P (x, \ partial)} . Entonces se ve que si la formulación original (formulación fuerte) requiere encontrar una función u {\displaystyle u} (solución fuerte) definido en W {\displaystyle W} , diferenciable / α / - veces y tales que: entonces una función integrable u {\displaystyle u} es una solución débil si: para cada función suave al soporte compacto φ {\displaystyle \ varphi } . En dominios limitados, una solución sólida también es una solución débil, ya que los procedimientos de integración de partes son legales. Si surge el problema inverso, es decir, si una solución u {\displaystyle u} del problema débil también satisface el problema fuerte, se ve que u {\displaystyle u} no puede ser una solución sólida si se interpretan las derivadas en el sentido clásico por dos razones: explica entonces la razón para considerar u {\displaystyle u} ya no como una función, sino como una distribución. Asumiendo esto e interpretando derivados en el sentido de distribuciones, se puede decir que u {\displaystyle u} satisface el problema fuerte (en el sentido de distribuciones). Incluso llevar los datos al borde es problemático: como se indicó anteriormente, teniendo en cuenta que el borde del dominio siempre ha medido nada, hablar sobre el valor de u {\displaystyle u} en el borde no tiene sentido clásico. La solución a este problema ha sido considerar los datos en el borde como el límite (en el sentido de L 2 {\displaystyle L^{2}} ) de funciones de clase C ∞ {\displaystyle C ^ {\infty }} soporte compacto aproximado u {\displaystyle u} en el sentido de H 1 {\displaystyle h^{1}} . Multiplicando la ecuación para una función de soporte suave y compacta φ {\displaystyle \ varphi } , y mediante la integración se obtiene: gracias al teorema de Fubini es posible intercambiar el orden de integración, de modo que mediante la integración de las partes en t {\displaystyle t} el primer término y en x {\displaystyle x} el segundo: se observa que las integrales van de - ∞ A∞, pero se evalúan básicamente en un dominio cerrado como φ {\displaystyle \ varphi } tiene soporte compacto Para ilustrar el concepto, considere la ecuación de onda: donde u ( t , x ) {\displaystyle u (t, x)} es diferenciable con continuidad en R 2 {\displaystyle R^{2}} . Hay entonces una función u {\displaystyle u} , que puede no ser diferenciable, que satisface la última ecuación para cada φ {\displaystyle \ varphi } pero esa no es una solución de la ecuación de onda: es una solución débil. Por ejemplo: es una solución débil, como se muestra mediante la integración de partes a los lados de la línea x = t {\displaystyle x = t} .

Ambos V {\displaystyle V} un espacio Banach. Quieres encontrar una solución u ∈ V {\displaystyle u \ in V} de la ecuación: donde A : V → V ′ {\displaystyle A:V\to V''} y f ∈ V ′ {\displaystyle f \ in V''} , con V ′ {\displaystyle V''} el espacio dual de V {\displaystyle V} . El cálculo de las variaciones muestra cómo esto es equivalente a encontrar u ∈ V {\displaystyle u \ in V} tal que para todos v ∈ V {\displaystyle v \ in V} vale: Usted puede considerar v {\displaystyle v} un vector o función de prueba. Ambos V {\displaystyle V} un espacio de Hilbert y a ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle a (\cdot, \ cdot)} una forma bilineal en V {\displaystyle V} que es limitado: y coercitivo: entonces, para cada f ∈ V ′ {\displaystyle f \ in V''} hay una solución única u ∈ V {\displaystyle u \ in V} para la ecuación: y tienes: por ejemplo, en el caso de un sistema de ecuaciones lineales que tienes V = R y {\displaystyle V = \ mathbb {R} ^{n}} , y A : V → V {\displaystyle A:V\to V} es una transformación lineal Formulación débil del problema significa encontrar u ∈ V {\displaystyle u \ in V} tal que: definición de la forma bilineal: el lema lax-Milgram se puede aplicar a las formas bilineales, incluso si no es la versión más general. Ya A {\displaystyle A} es un mapa lineal sólo intente los vectores básicos y Me {\displaystyle e_{i}} : Usando la expansión como una combinación lineal de los vectores básicos: obtenemos la forma matricial de la ecuación: donde a Me j = ⟨ A y j , y Me ⟩ {\displaystyle A_{ij}= \ langle Ae_{J}, e_{i}\rangle } y f Me = ⟨ f , y Me ⟩ {\displaystyle f_{i}= \ langle f, e_{i} \ rangle } La formulación débil de la ecuación: consiste en encontrar u ∈ V {\displaystyle u \ in V} tal que para cada v ∈ V {\displaystyle v \ in V} la ecuación se aplica: donde ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle } denota el producto nacional. La forma bilineal asociada con una formulación tan débil es: se observa que todas las formas bilineales en R y {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} son limitados y en particular: en cuanto a la coercitividad, significa que la parte real de los autovalores de A {\displaystyle A} no debe ser más pequeño que c {\displaystyle c} . Esto implica que ningún autovalor puede ser nulo, y por lo tanto el sistema es solucionable. Además, puede estimar: dónde c {\displaystyle c} es la parte real más pequeña asumida por los valores propios de A {\displaystyle A} .

Considere el siguiente problema de Poisson con condiciones de bordes mixtos homogéneos: multiplicar a la derecha y a la izquierda por una función de prueba v {\displaystyle v} , por el momento sin especificar a qué espacio pertenece, e integrándose por partes entre − 1 {\displaystyle - 1} y 1 {\displaystyle 1} tiene: así explotando las condiciones en el borde para u {\displaystyle u} usted puede escribir: ¿DÓNDE ESTÁ u {\displaystyle u} que v {\displaystyle v} debe permanecer en H 1 ( − 1 , 1 ) {\displaystyle h^{1} (- 1, 1)} para que las integrales tengan sentido A menudo, especialmente en el análisis numérico, se prefiere hacer el cambio de desconocido colocando: donde R Gram {\displaystyle Rg} se llama "detección" de u {\displaystyle u} en el borde. Función R Gram {\displaystyle Rg} , de hecho, asume en el borde los mismos valores que u {\displaystyle u} , para que u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} nada en el borde. También R Gram {\displaystyle Rg} también debe pertenecer a H 1 {\displaystyle h^{1}} , por lo que la sustitución u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} en la ecuación se obtiene: si ahora elige como el espacio de las funciones de prueba el espacio: entonces u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} y v {\displaystyle v} están en el mismo espacio. Esto es muy útil porque es posible aplicar el lema de LAX-Milgram para comprobar si el problema está bien situado, es decir, si admite una solución única y si esto depende con continuidad de los datos.

Una ecuación diferencial lineal a derivadas parciales elípticas del segundo orden en y {\displaystyle n} variables independientes z = ( z 1 , z 2 , … , z y ) T {\displaystyle \mathbf {z} = \left (z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}\right)^{T}} definido en conjunto abierto Ω ⊂ R y {\displaystyle \Omega \subconjunto \ mathbb {R} ^{y}} se puede escribir de una manera general como: donde las variables son todas las funciones de z {\displaystyle \ mathbf {z} } Es posible escribir tal ecuación también en la forma: suponiendo a Me j ( x ) = a 1 ( x ) δ Me j {\displaystyle A_{ij}\left (\mathbf {X} \right)=a_{1}\left (\mathbf {X} \right)\delta _ {ij}} y b ( x ) = c ( x ) = 0 {\displaystyle \mathbf {B} \left(\mathbf {X} \right)=\mathbf {c} \left (\mathbf {X} \derecho)=0} en Ω {\displaystyle \ Omega } La solución clásica de tal problema consiste en determinar una función u ∈ C 2 ( Ω ) {\displaystyle u\in C^{2}\left (\Omega \ right)} que satisface la ecuación en su forma general para todos los vectores x ∈ Ω {\displaystyle \mathbf {x} \ in \ Omega } y que también cumple con las condiciones a bordo para todos los transportistas x ∈ ∂ Ω {\displaystyle \ mathbf {X} \ in \ partial \ Omega } Este problema no es generalmente solucionable, y por esta razón se introduce la formulación débil del problema. Su derivación consta de cuatro pasos: la formulación débil por lo tanto requiere en este punto la determinación de la función u ∈ H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle u \ in h_{0}^{1}\left (\Omega \ right)} que verifica la ecuación en el último punto. Claramente la formulación clásica determina una función que satisface incluso la formulación débil.

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