Estadísticas de Bose-Einstein

La estadística de Bose-Einstein, también llamada distribución de Bose - Einstein o abreviada como estadística B - E, determina la distribución estadística de los estados de energía al equilibrio térmico de un sistema de bosones, asumiendo que son idénticos e indistinguibles entre sí. Introducido en 1920 por Satyendra Nath Bose para los fotones, y extendido a los átomos por Albert Einstein en 1924, representa, junto con la estadística de Fermi - Dirac para los fermiones, la actualización cuántica de la estadística clásica de Maxwell - Boltzmann. Se aproxima por la estadística de Maxwell-Boltzmann en el caso de que se involucren altas temperaturas y densidades relativamente bajas. Dado que la densidad de ocupación de los Estados depende de la temperatura, cuando esta es muy alta, la mayoría de los sistemas caen dentro de los límites clásicos, es decir, las diferencias entre fermiones y bosones son insignificantes, a menos que tengan una densidad muy alta, como en una estrella enana blanca. El tratamiento cuántico de las partículas se aplica cuando la distancia entre las partículas se acerca a su longitud de onda térmica de Broglie, es decir, cuando las funciones de onda asociadas con las partículas se encuentran en áreas donde tienen valores no despreciables, pero no se superponen. Los bosones, no siguiendo el principio de exclusión de Pauli, pueden ocupar en números ilimitados el mismo estado de energía al mismo tiempo, y a bajas temperaturas tienden a agruparse en el mismo nivel de baja energía formando un condensado de Bose - Einstein. Las estadísticas de Bose-Einstein son particularmente útiles en el estudio de gases y formas, junto con las estadísticas de Fermi - Dirac, la base de la teoría de semiconductores y electrónica.

A principios de la década de 1920 Satyendra Nath Bose se interesó en la teoría de Einstein de que en las ondas electromagnéticas la energía se distribuye en grupos discretos, entonces llamados fotones. Bose quería derivar de consideraciones estadísticas la fórmula de la radiación del cuerpo negro, obtenida por Planck a través de una conjetura empírica. De hecho, en 1900 había obtenido su fórmula con una especie de "manipulación" de expresiones para adaptarlas a datos experimentales. Veinte años más tarde, Bose, utilizando las partículas imaginadas por Einstein para explicar el efecto fotoeléctrico, fue capaz de derivar la fórmula de radiación, desarrollando sistemáticamente una estadística para partículas más masivas sin la restricción de la conservación del número de partículas. Bose derivó la Ley de Planck sobre radiación proponiendo varios estados para los fotones. En lugar de la independencia estadística de las partículas, Bose consideró que las partículas estaban dentro de las células y describió la independencia estadística del espacio de fase de esas células. Tales sistemas admiten dos estados de polarización, y están asociados con una función de onda totalmente simétrica. Bose había obtenido un resultado notable al identificar una ley estadística que podría explicar el comportamiento de los fotones. Sin embargo, al principio no pudo publicar su trabajo, porque ninguna revista europea quería aceptar su artículo debido a la incapacidad de entenderlo. Bose entonces envió sus escritos a Einstein, quien entendió su importancia y utilizó su influencia para obtener su publicación.

La distribución de Bose-Einstein se describe por la expresión: con ε Me & gt; μ {\displaystyle \ varepsilon _ {i} & gt; \ mu } y dónde: esto se reduce a la estadística de Maxwell-Boltzmann para las energías ε Me − μ ≫ k T {\displaystyle \ varepsilon _ {i} - \ mu \ gg kT} . Supongamos que tenemos un número dado de niveles de energía, marcados por el índice Me {\displaystyle i} , cada uno teniendo energía ε Me {\displaystyle \ varepsilon _ {i}} y que contiene un total de y Me {\displaystyle n_{i}} partículas finas. Supongamos también que cada capa contiene Gram Me {\displaystyle g_{i}} sub-niveles distintos, pero todos con la misma energía y distinguibles unos de otros. Por ejemplo, dos partículas podrían tener momentos diferentes y en consecuencia ser distinguibles, pero podrían tener la misma energía. Valor Gram Me {\displaystyle g_{i}} en el nivel i-ésimo se llama degeneración de ese nivel de energía. Cualquier número de bosones puede ocupar el mismo subnivel. Ambos w ( y , Gram ) {\displaystyle w (n, g)} el número de formas de distribuir y {\displaystyle n} partículas entre Gram {\displaystyle g} subniveles de un cierto nivel de energía. Solo hay una manera de distribuir el y {\displaystyle n} partículas en un solo subnivel, así w ( y , 1 ) = 1 {\displaystyle w(n, 1)=1} . Es simple entender que existen en su lugar y + 1 {\displaystyle n+1} formas de distribuir y {\displaystyle n} partículas en dos subnivel, a continuación escribiremos: con un razonamiento simple se puede establecer que el número de formas de distribución y {\displaystyle n} partículas en tres subnivel es w ( y , 3 ) = w ( y , 2 ) + w ( y − 1 , 2 ) + . . . + w (0,2)} , por lo tanto: Aquí hemos utilizado la siguiente propiedad con respecto a los coeficientes binomiales: iterando este procedimiento, se puede demostrar que w ( y , Gram ) {\displaystyle w (n, g)} se da por: generalizar, el número de formas de distribuir y Me {\displaystyle n_{i}} partículas en Gram Me {\displaystyle g_{i}} sub-niveles, variando de Me {\displaystyle i} , es el producto de las formas en que cada nivel de energía puede ser ocupado: en la aproximación anterior se asume que Gram Me ≫ 1 {\displaystyle g_{i} \ gg 1} + w ( 0 , 2 ) {\displaystyle w (n, 3) = w (n, 2)+w(n - 1, 2)+. Siguiendo el mismo procedimiento utilizado para obtener la estadística de Maxwell-Boltzmann, se debe determinar un conjunto de y Me {\displaystyle n_{i}} función de maximización W {\displaystyle W} , bajo la restricción de que el sistema es un conjunto microcanónico, es decir, que consiste en un número fijo de partículas y tiene una energía fija. Usando el método de multiplicadores de Lagrange, construimos la función: teniendo en cuenta la aproximación Gram Me ≫ 1 {\displaystyle g_{i} \ gg 1} de la aproximación de Stirling para factoriales, ( ln ⁡ ( x ! ) ≈ x ln ⁡ ( x ) − x ) {\displaystyle \left (\ln (x !) \ approx x \ ln (x) - x \ right)} derivados de y Me {\displaystyle n_{i}} , igual a cero y resolver con respecto a y Me {\displaystyle n_{i}} , se obtiene: se puede demostrar, por consideraciones de termodinámica, que: β = 1 k T {\displaystyle \ beta ={\frac {1} {kT}}} , donde: mientras α = − μ k T {\displaystyle \ alpha = - {\frac {\mu} {kT}}} , donde μ {\displaystyle \ mu } es el potencial químico Máximos de funciones W {\displaystyle W} y ln ⁡ ( W ) {\displaystyle \ln (W)} usted tiene en la correspondencia del valor Y Me {\displaystyle N_{i}} . En realidad maximiza la función escrita a continuación, porque esta solicitud equivalente es matemáticamente más simple de explicar. En conclusión obtenemos: a veces esta fórmula también se escribe en la forma: donde z = CAD ⁡ ( μ / k T ) {\displaystyle z=\exp (\mu / kT)} se llama transitoriedad, es decir, la probabilidad de agregar partículas al sistema.

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